多功能题典高中数学竞赛-21

《多功能题典高中数学竞赛-21》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、第12章立体几何12.1直线与平面12.1.1*将三棱锥P-ABC沿三条侧棱展开，展成平面形状，如图a,好、C、北三点共线，北、B、£三点共线，且PR=P片则在三棱锥P-ABC中，血与BC所成角的大小是（）.A.30°解析在展开图中C为线段片/中点，3为线段£人中点,PXA=P.A,因此乙4人出=上斥出力.由Pf2=Pf3,可知牛PP—PPK，P[C=PiB=P2C=P2B,因此△4RC叱化B,AC=AB.在三棱锥中取中点D,连结PD、AD,则PD丄BC,AD丄BC,所以3C丄面PAD,刖丄故选D.12」.2★如果空间三条直线°、b、c两两成

2、异面直线，那么与a、b、c都相交的直线有（）.A.0条B.1条C.多于1的有限条D.无穷多条解析存在唯一一对分别过两条异血直线的平行平面，这是解本题的关键.设分别过b、c的平行平面为a、卩.因q与b、c都互为异面直线，故可取d上不在平面Q、0内的点/（如图），连结力与b上任意一点N,交0于AT,当N在b上移动时，AT在0内移动，产生直线//,易知//〃b,且//与c必有一交点M,从而与b、c都相交，当/变动时，显然相应能找到唯一一条直线与b,c相交，故选D.A12.1.3*空间四点/、B、C、D满足

3、^

4、=3,

5、^C

6、=7,

7、c5

8、=ll,=

9、^

10、

11、=9,则天•丽的取值（）.A.只有一个B.有两个C.有四个D.有无穷多个解析因为+c52=32+112=130=72+92=^C2+A42,由乔+说+丽+刃=0得，石+丽=-（氏+万可,两边平方得~ABCD=JC-DA,故ABCD=-AD-BC.于是7C-'BD={7B+'BC]{BC+Cb^=（7B+BC+Cb]BC+7B-CD=7b'BC-}-7BCb=O・走•丽只有—个值0,故选A.12」.4★★试问：空间是否存在不在同一平面的有限点集M,使得对M中的任意两点4、B,我们可以在M中另取两点C、D,使直线和CD互相平行但不重合？解析结论是肯

12、定的，而且具有题中性质的有限集M不是唯一的.例如由一个立方体的顶点及其中心关于六个面的反射点形成的点集就是其一.12.1.5**试证：如果空间四边形的对边相等，则它的两条对角线中点连线一定垂直于这两条对和线；反之，如果空间四边形的两条对角线中点连线垂直于这两条对角线，则其对边必相等.解析如图，设空间四边形为ABCD,P、Q分别为对角线AC.BD的中点.由已知AB=CD,AD=BC.所以△ABD^/CDB.这两个全等三角形的对应中线AQ.CQ^^AQ=CQ.于是P0为等腰三角形0C底边/C的中线，尸0丄/C.同理尸0丄即尸。与两条对角线/C和都垂

13、直.反之，若P0是/C和3D的中垂线，则将整个图形以P0为轴旋转180°,必交换/和C、B和D的位置,所以有AB=CD,AD=CB.C评注用A、B、C、D及P、0分别表示由原点出发到相应点的向量，由向量的运算也可证得本题.12.1.6**设/、r为空间中的两条直线，在/上取/、B、C三点，3为线段/C中点.若G、b、c分别为4、B、C到/'的距离，试证：bW当且仅当/〃/'时等式成立.解析如图，设A、B、C在/，上的射影分别为ABC连结AC,设力(7的中点为由于E是/C的中点，则=-,BB〃=9.在/XBB'B〃中,22BB'

14、B'',即.当且仅当/〃厂时，有BB‘=BB〃+B'B"及a=b=c,因而2V2成立.12.1.7***设/、加是两条异而直线，在/上有4、B、C三个点，ELAB=BC.过/、B、C分别作加的垂线4D、BE、CF，垂足依次为D、E、F已知=BE=-,CF二你，求：/与加的距离.2解析如图，设=厶必为直线/与加的公垂线，LJ,Mem.Hm作平面P平行于直线/,过/、B、C分别作平面尸的垂线AG.BH、CK,垂足分别为G、H、K,则点G、H、K落在与/平行的直线/'上，连结GD、HE、KF・因为AB=BC,AG〃BH//CK,所以GH=HK・又4D丄

15、m,BE丄m,CF丄〃2,由三垂线定理的逆定理得GD丄加，HE丄加，KF丄加.故GD〃//E〃KF,且E、H分别対FD、KG的中点.设/与加的距离为x,贝ijAG=BII=CK=LM=x.当点A、B、C在点厶的同一侧吋，有2HE=KF+GD.由GD=ylAD2-AG2,HE=>jBE2-BH2,KF=>JCF2-CK2及仞=届,BE=—,2CF=JT5,得2^^-x2=l10-x2+Jl5-x2.解此方程，得x=V6(x>0).故直线/与加m的距离为>/6•评注当A、B、C不全在厶的同一侧时，有2普_疋=&5_壬一VlO-x2.此方程无解，故

16、A、B、C必在点厶的同侧.12.1.8i如果A、B、C、D是空间中四点，且ZACB=ZDBC=ADAC=ZADB=-.求证：2A>B、C