24.1.2 垂径定理.1.2垂径定理

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1、24.1.2 垂直于弦的直径教学目标:理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理,并辅以逻辑证明加予理解.重、难点重点垂径定理及其运用.难点探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.教学过程一、复习引入①在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆,记作“⊙O”,读作“圆O”.②连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段AC,AB;③经过圆心的弦叫做直径,如图线段AB;④圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,以A,C为端点的弧记作“”,

2、读作“圆弧AC”或“弧AC”.大于半圆的弧(如图所示)叫做优弧,小于半圆的弧(如图所示或)叫做劣弧.⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.⑥圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线.二、探索新知(学生活动)请同学按要求完成下题:如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.(1)如图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?(2)你能发现图中有哪些等量关系?说一说你理由.(老师点评)(1)是轴对称图形,其对称轴是CD.(2)AM=BM,=,=,即直径CD平分弦AB,并且平分及.这样,我们就得到下面的定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对

3、的两条弧.下面我们用逻辑思维给它证明一下:已知:直径CD、弦AB,且CD⊥AB垂足为M.求证:AM=BM,=,=.分析:要证AM=BM,只要证AM,BM构成的两个三角形全等.因此,只要连接OA,OB或AC,BC即可.证明:如图,连接OA,OB,则OA=OB,在Rt△OAM和Rt△OBM中,∴Rt△OAM≌Rt△OBM,∴AM=BM,∴点A和点B关于CD对称,∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直线CD对折时,点A与点B重合,与重合,与重合.∴=,=.进一步,我们还可以得到结论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(本题的证明作为课后练习)例1 有一石拱桥的桥拱是圆弧

4、形,如图所示,正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时,水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施?请说明理由.分析:要求当洪水到来时,水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施,只要求出DE的长,因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.解:不需要采取紧急措施,设OA=R,在Rt△AOC中,AC=30,CD=18,R2=302+(R-18)2,R2=900+R2-36R+324,解得R=34(m),连接OM,设DE=x,在Rt△MOE中,ME=16,342=162+(34-x)2,162+342-68x+x2=342,x2-68x+256=0,解得x1=4,x

5、2=64(不合题意,舍去),∴DE=4,∴不需采取紧急措施.三、课堂小结(学生归纳,老师点评)垂径定理及其推论以及它们的应用.四、作业布置1.垂径定理推论的证明.2.教材第89,90页 习题第8,9,10题.

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