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1、1-1.简述优化设计问题数学模型的表达形式.答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。在明确设计变呈、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设汁变量向量x=[xtx2LX』便/(x)Tmin且满足约束条件hk(x)=0(k=1,2,L/)gjM<0(j=l,2,Lm)利用可行域概念，可将数学模型的表达进一步简练。设同时满足gjM<0(j=l,2,Ltn)和hk(尢)=0伙=1,2,L/)的设计点集合为R、即斤为优化问题的可行域，则优化问題的数学模型可简练地写成求兀便min/(A：)符号“w”表示“从属于”。xeR在
2、实际优化问题中，对冃标函数一般有两种要求形式：目标函数极小化/(x)min或冃标函数极大化f(x)max。由丁•求/(x)的极大化与求一f(x)的极小化等价，所以今后优化问题的数学表达一律采用目标函数极小化形式。1-2•简述优化设计问题的基本解法。(不要抄书，要归纳)答：求解优化问题町以用解析解法，也叮以用数值的近似解法。解析解法就是把所研究的对象用数学方程(数学模型)描述出来，然后再用数学解析方法(如微分、变分方法等)求出冇化解。但是，在很多悄况下，优化设计的数学描述比较复朵，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有时对象木身的机理无法用数学方
3、程描述,而只能通过大量试验数据用插值或拟合方法构造一个近似函数式,再來求其优化解,并通过试验來验证；或直接以数学原理为指导，从任収一点出发通过少虽试验(探索性的计算)，并根据试验计算结果的比较，逐步改进而求得优化解。这种方法是屈于近似的、迭代性质的数值解法。数值解法不仅可用于求复杂函数的优化解，也可以用于处理没有数洋解析农达式的优化问题。因此.它是实际问题中常用的方法，很受重视。其中具体方法较多，并且目前还在发展。但是，应当指出，对于复杂问题，由于不能把所有参数都完全考虑并表达出来，只能是一个近似的最后的数学描述°由于它木来就是一种近似，那么，采用近
4、似性质的数值方法对它们进行解算，也就谈不到对问题的粘确性冇什么影响了。不管是解析解法，还是数值解法，都分别具有针对无约束条件和有约束条件的具体方法。可以按照对函数倒数讣舁的要求，把数值方法分为需要汁算函数的二阶导数、一阶导数和零阶导数(即只要计算函数值而不需计算其导数)的方法。2-1•何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数f(xl,x2)在xO点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式cos01+竖cos^2=a厂cos&lXOdlixo0x2xoj)x3x2_xocos&2刃刃T并称它为函数F(Xi,x2)在xO点处的梯度。dx3
5、x2xo3x2假设d=
6、~cos01为D方向上的单位向量,cos^2则有塹()dxo=^f(xO)Td即函数f(xl,x2)在xO点处沿某一方向d的方向导数必等于函数在该点处的梯度Yf(X0)与d方向单位向呈的内积。ddxo梯度方向是函数值变化最快的方向，而梯度的模就是函数变化率的战大值。梯度与切线方向d垂直,从而推得梯度方向为等值面的法线方向。梯度V/(x0)方向为函数变化率最大方向，也就是最速上升方向。负梯度・Y/'(xO)方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向。2-2・求二元函数/(xpx2)=2彳+用一2西+兀2在兀()=[0,0]7处函数
7、变化率最大的方向和数值。解；由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向蛍P表示，函数变化率最大和数值时梯度的模
8、
9、V/(xO)
10、
11、o求f(xl,x2)在x0点处的梯度方向和数值•计算如下:3.vlc)x24x1-2^-
12、_2工2+1丿0度后新点的目标函数值。解:求目标函数的偏导数£—6兀]—4jv，,£——4%
13、+2x°dx1-dx2则函数在^=[1,0]7处的最速卜•降方向是p=-V/7X°)=-■一6斗+4x2-64这个方向上的单位向量是:新点是新点的II标函数值P—f轩_[-诃阿_仁6)；+4厂顶■■X'=X°+e=护一屁2-4.何谓
14、凸集、凸函数、凸规划？（要求配图）个点集（或区域），如果连接其中任意两点xl.x2的线段都全部包含在该集合内,就称该点集为凸集,否则为非凸集。IBinrUS函数f（x）为凸集定义域内的函数，若对任何的OWaWl及N集域内的任意两点xl.x2,存在如下不等式:fGX]+（1-a）*?Sa/（X]）+（1-a”？对于约束优化问题min/(x)S.t.gj(兀)500=1,2,…，加)若/(X)、g/(兀)j=l,2,...,m都是凸函数，贝IJ称此问邂为凸规划。1-1•简述一维搜索区间消去法原理。(要配图)答：搜索区间ab)确定Z后，采用区间逐步缩短搜索
15、区间，从而找到极小点的数值近似解。假设搜索区间(a,b)内任取两点al•bl,al《bl,并计算函数值f(a
