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《初中数学竞赛指导：“数与式”竞赛问题的简单剖析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、“数与式”竞赛问题的简单剖析数与式是初屮竞赛的主体内容2—，涉及到这部分内容的选择题、填空题特点是“小、巧、活”.复习这部分内容的有效方法是对照初中数学竞赛大纲，逐条训练、理解、掌握.下面选取近几年的初中竞赛试题对这部分内容作一些剖析，以重难点、解题方法为主线,期望既能在试题的剖析中领悟、消化这些方法，又能把握初中数学竞赛试题的脉络.数与式问题：1・奇偶性分析、整除性分析［例1］己知a、b、C中有两个奇数、一个偶数，n是整数，如果s=(d+2n+l)(b+2n十2)(e+2/?十3),那么()A.S是偶数B.S
2、是奇数C.S的奇偶性与〃的奇偶性相同D.S的奇偶性不能确定［思路点拨］弄清a+2n+l,Z?+2〃+2,c+2n+3的奇偶性即可.依题得：(d+2/?+1)+(b+2n+2)+(c+2/2+3)=a+b+c+6(n+1).*•*a+b+c为偶数，6(/?+1)为偶数，a+b+c+6(n+1)为偶数a+2n+1,b+2n+2,c+2n+3中至少有一个为偶数・・・S是偶数.故选A.注：三个数的和为偶数，则至少有一个为偶数；三个数中有一个为偶数，则三数之和为偶数.［点评］近年来单独考查奇偶性的试题较少，多数是将奇偶性
3、分析、整数问题融入到其他知识中去解决问题，是一个重要的“题眼”.［例2］方程疋+6/+5兀=),_〉，+2的整数解(兀，y)的个数是().(71)0(B)l(C)3(D)无穷多［解答］原方程可化为X(X+1)(兀+2)+3(++%)=y(y-l)(y+1)+2,因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2,这是不可能的.所以,原方程无整数解.故选(A).［点评］本题的“题眼”有两个：一是对方程两边“局部分解因式''，构造三个连续整数的乘积；二是对方程两边作整除性分析.2•求代数式的
4、值，着重于对代数式的整体处理代数式的结构千变万化，我们便于解决的总是那些结构特殊的代数式，这就意味着：我们总是要整体把握问题中代数式的特殊结构.常用方法有如下几种，简单罗列，供大家参考.(1)整体换元，整体化简、求值［例3］若3疋一兀=1,则9x4+12x3-3x2-7%+1999的值等于()A.1997B.1999C.2001D.2003［思路点拨］用竖式除法可得原式=(3疋-X-1)(3兀+4)+2003=2003,故选D.［点评］本题整体代入9*+12疋一3兀2_7兀+1999,回避了繁琐的运算，这是处理
5、这样问题的一个常用手段.本题的关键在于如何巧妙的利用3疋_兀二1这个整体.［例4］己知实数a,b满足/+ab+b2=1,且/=ab-a2-b那么t的取值范围是.［思路点拨］题屮两式相加，得2^=l+r；两式相减，得2因为a2+b2>2ahf所以—>l+r>-(14-r),解得一3"W——.223［点评］本题视Hib为两个独立的整体，利用它们之间的关系a2+b2>2ab构造不等式，获得z的范圉.关于变量的儿种常见代数结构之间存在特定的不等关系：即均值不等式;还存在特定的等量关系:+/?2)_(a_b)亠
6、(a+b)~,这是我们都应了解的内容.(2)整体实施相加、相乘、相除［例5］已知对于任意正整数小都有E，贝9H1F_1。100一1［思路点拨］本题的参考答案:当n>2时，有e++•••++cin=/?',4+han--（fl-I）3'两式相减,得cin=3n2—3«+1,1_1an-1一1）n=2,3,4,…丄+丄+•・・+丄=丄（1-丄）+丄（丄丄）+・・•+■丄一丄）100a2-a3-a^-32323399100=丄（1-丄）』2100100［点评］本题是利用整体相加减，求出通项公式，这其实是在高中
7、数列内容中常用的思路•我们的解法思路巧妙、过程简洁，这其实要归功于对幣体的把握.［例6］已知三个关于x的一元二次方程ax1+bx+c=0,bx2+cx+a=0,°k+ax+b-2i22二0恰有一个公共实数根，则"++°的值为().becaah(A)0(B)l(Q2(D)3［思路点拨］设如是它们的一个公共实数根，则orj+如+c=0,bxj+cxQ+g=0,cx02+隔+b=0•把上而三个式子相加，并整理得(d+b+c)(X+兀+1)=0•所以d+b+c=0•因为Xq+Xo+1=（Xo4）24>0,b~c?d'+
8、b'+c'o'+戻—（a+/?）、—3cib（ci+b）oj疋1F—====3•becaahahcabcabc选(D).［点评］本题利用特殊到一般的处理的方法，同时利用整体相加减，得出关于a^c直接的关系式，帮助我们解题.3・判定代数式的符号及配方法则x、y、侧7歸、b、c为实数，一〜+亍，TJ+亍，—7+亍Z中至少有一个值()•(A)大于0(〃)等于0(C)不大于0(D)小于0［思路
