几类递推数列通项公式的常见类型及解法

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1、几类递推数列通项公式的常见类型及解法递推数列问题成为高考命题的热点题型，对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可对递推式的变形转化为等差数列或等比数列.下面将以常见的几种递推数列入手，谈谈此类数列的通项公式的求法.一、型（d为常数）形如的递推数列求通项公式，将此类数列变形得，再由等差数列的通项公式可求得an.例1已知数列中，求的通项公式.解：∵∴∴是以为首项，3为公差的等差数列.∴为所求的通项公式.二、型形如的递推数列求通项公式，可用差分法.例2已知数列中满足a1=1，，求的通项公式.解：作差，则-=-1，-=-2，-=-3，……，，将

2、上面n-1个等式相加得……+[]∴=为所求的通项公式.三、型形如的递推数列求通项公式，将此类数列变形得，再由等比数列的通项公式可求得an.例3已知数列中满足a1=1，，求的通项公式.解：∵∴∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴为所求的通项公式.四、型形如的递推数列求通项公式，可用累乘法.例4已知数列中满足a1=1，，求的通项公式.解：∵∴.∴==∴∴为所求的通项公式.五、型（c，d为常数）形如的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解.例5已知中且求此数列的，通项公式.解：，则.与进行比较，可得t=1，则有.设，则有

3、.∴是以为首项，2为公比的等比数列，∴六、型（k为常数）形如的递推数列求通项公式，可对已知递推式适当变形，通过累加或累积求得通项.例6已知数列中，=，（n≥2），求.解：将原递推式化作：，则两式相减得∴数列{}是以首项为，公比为的等比数列.∴=×，又∴=.七、型（c，d为常数）形如的递推数列求通项公式，可通过适当换元，转换成等比数列或等差数列求解.例7已知数列，=1，，(，≥2)，求.解：∵∴∴{}是以2为公比，－为首项的等比数列.∴∴==评注：可以变形为，则可从p+q=c，pq=-d，解得p，q，于是{}是公比为q的等比数列，这样就可转化

4、为类型六进行求解.小结：等差数列或等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，也是高考考查的热点.而主要考查学生分析问题和解决问题的能力，这个能力往往集中在“转化”的水平上.也就是说，把不同的递推公式，经过相应的变形手段，转化成比较熟悉的等差数列或等比数列进行求解.