几类递推数列通项公式求解策略

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1、几类递推数列的通项公式的求解策略已知递推数列求通项公式，是数列中一类非常重要的题型，也是高考的热点之一．数列的递推公式千变万化，由递推数列求通项公式的方法灵活多样，下面谈谈它们的求解策略．一、方法：利用叠加法，，，．例1．数列满足，，求数列的通项公式．解：由得===例2．数列满足，且，求数列的通项公式．分析：注意到左右两边系数与下标乘积均为，将原式两边同时除以，变形为．令，有，即化为类型，以下略．二、方法：利用叠代法，，，．例3．数列中，且，求数列的通项．解：因为，所以===三、，其中为常数，且当出现型时可利

2、用叠代法求通项公式，即由得=或者利用待定系数法，构造一个公比为的等比数列，令，则即，从而是一个公比为的等比数列．如下题可用待定系数法得，可将问题转化为等比数列求解．待定系数法有时比叠代法来地简便．例4．设数列的首项，，，求数列通项公式．解：令，又∵，，∴，∴，又，∴是首项为，公比为的等比数列，即，即．四、，为常数方法：可用下面的定理求解：令为相应的二次方程的两根(此方程又称为特征方程)，则当时，；当时，，其中分别由初始条件所得的方程组和唯一确定．例5．数列，满足：，且，，求，．解：由得，，代入到式中，有，由特

3、征方程可得，代入到式中，可得．说明：像这样由两个数列，构成的混合数列组求通项问题，一般是先消去(或)，得到(或)，然后再由特征方程方法求解．五、型，这里为常数，且例6．在数列中，，其中，求数列通项公式．解：由，，可得，所以为等差数列，其公差为，首项为．故，所以数列的通项公式为．评析：对的形式，可两边同时除以，得，令有，从而可以转化为累加法求解．六、一般地，若正项数列中，，则有，令(为常数)，则有．数列为等比数列，于是，从而可得．例7．已知各项都是正数的数列满足，，求数列的通项公式．分析：数列是一个二次递推数列

4、，虽然不是基本冪型，但由它可以构造一个新的冪型数列，通过求的通项公式而达到求数列通项公式的目的．解：由已知得令，则有．又，，从而．取对数得，即．是首项为，公比为的等比数列，．