实际问题与二次函数“最大利润” (2)

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1、26.3实际问题与二次函数(2)一、教学目标：(一)知识与技能　　1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。　　(二)过程与方法　　经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。　　(三)情感态度与价值观　　1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。　　2、认识到数学是

2、解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。　　二、教学重点、难点：教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。　　教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。教学活动过程：创设情境，导入新课引例：已知某商品进价为每件40元，以每件60元售出，可获利润多少元？若每周可卖出300件，则获得的总利润是多少元？本活动旨在复习以下几个公式，为下面活动一作铺垫。单件利润=售价－进价总利润=单件利润×销售数量总利润=销售额-总成本活动一、探究

3、新知已知某商品进价为每件40元，以每件60元售出，每周可卖出300件，老板采用提高售价，减少销售量的办法增加利润，而每涨价1元，每星期少卖出10件；要想获得最大利润，该商品应如何定价？本题设置旨在降低课本上例题的难度，形成一定的梯度。教师可提问：1、本题涉及到哪些变量？其中哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？2、怎样求所获利润？3、怎样求得最大利润？4、求函数的最值问题，应注意什么？设计本题教师的重点有两个：（1）引导学生寻找等量关系，列出函数关系式确定自变量的取值范围。（2）在限定的自变量取值范围内求函数的最值。要想解决本题，就必须寻找问题本身所隐含的一些关系，并把这

4、些关系用文字语言和符号语言表示出来。解：设涨价x元，每星期所获利润为y元，由题意得y=（60+x-40）(300-10x)（0≤x≤30）=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250∵0≤x≤30∴当涨价5元时，即定价65元时，每星期所获利润最大，最大利润为6250元。变式一、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（自主完成本题后，小组交流讨论）（1）若涨价方法一、解：设涨价x元，每星期所获利润为y元，由题意得y

5、=（60+x-40）(300-10x)（0≤x≤30）=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250∵0≤x≤30∴当涨价5元时，即定价为65元时，每星期所获利润最大，最大利润为6250元。方法二、解：设定价为x元，每星期所获利润为y元，由题意得y=(x-40)［300-(x-60)/1×10］(60≤x≤90)=(x-40)(900-10x)=-10x2+1300x-36000=-10(x-65)2+6250∴当定价为65元时，每星期所获利润最大，最大利润为6250元。在求最值时，可以提问学生：求二次函数的最值的方法有几种？①配方法②公式法③对称轴回代法(

6、2)若降价方法一、解：设降价x元，每星期所获利润为y元，由题意得y=（60-x-40）(300+20x)（0≤x≤20）=-20x2+100x+6000=-20(x-5/2)2+6125∵0≤x≤20∴当降价5/2元时，即定价为57.5元时，每星期所获利润最大，最大利润为6125元。∵6250＞6125∴当定价为65元时，每星期所获利润最大，最大利润为6250元。方法二、解：设定价为x元，每星期所获利润为y元，由题意得y=(x-40)［300+(60-x)/1×20］(40≤x≤60)=(x-40)(1500-20x)=-20x2+2300x-60000=-20(x-115

7、/2)2+6125∴当定价为57.5元时，每星期所获利润最大，最大利润为6125元。本活动旨在让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受到数学的应用价值。能帮助学生分析和表示实际问题中的变量之间的关系，帮助学生学会有效思考，获得解决问题的方法。变式二、上题中，若商场规定该商品每件的获利不低于40%，又不得高于60%，则如何定价才能使利润最大？本题旨在让学生进一步弄清实际问题中自变量的取值范围对最值得影响。弄清实际问题中自变量取值范围的实际意义及重要性。涨价时对于函数y=(x-40)［300-(x-60)