谐波恢复仿真分析

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1、谐波恢复一.谐波恢复的基本理论与方法：1.Pisarenko谐波分解理论谐波过程可用差分方程描述，首先利用Pisarenko谐波分解理论推导谐波过程所对应的差分方程。对单个正弦波x(n)=sin(2龙力?+&)利用三角函数恒等式，有：x(n)-2cos(2/r/)x(〃-1)+x(n-2)=0对上式作z变换，得：[1-2cos(2^/)z_1+z一彳]X(z)=0得到特征多项式：1-2cos(2;t/)zT+z—2=0。由此可见，正弦波的频率可以由相应特征方程的一对共辄根来决定：/=

2、arctan[

3、Im(zJ/Re(zz)]

4、/2^将单个正弦波推广到多个正弦波的情形，得：如果p个实的正弦波信号没有重复频率的话，则这P个频率应该由特征多项式]+qz_++a2p1z_(2/,_,)4-z"2,7=0・・・・・(1)的根决定。由此可得到p个实正弦波所组成的谐波过程可以用以下的差分方程进行描述：2px(n)+^aix(n-i)=Qi=这是一个无激励的AR过程。2.谐波恢复的ARMA建模法在无激励的AR模型差分方程x(n)+a,x(n-0=0两边同乘x(n-k),并/=1取数学期望，则有:R=k)+工

5、_i)=ONk(2);=1正弦波过程一般是在加性白噪声中被观测的，设加性白噪声为函力，即观测过程为：y(n)=兀(斤)+vv(/2)=工4sin(2疋加+0)+班“)，其中职斤)为0/=i均值的高斯白噪声。由于谐波过程与加性白噪声统计独立，所以有：尽依K灯+R")WQ+帀(Q(3)将(3)式代入(2)式得：2pRg+工eRy(k-i)=0,k>2p(4)/=!这就是加性白噪声中观测到的p个正弦信号所组成的谐波信号的ARMA过程的所服从的法方程。1.谐波恢复方法利用以上两种理论所推导的结果，可以通过

6、以下方法进行本题的仿真实验(程序见附页)：(1.)根据题目要求给出仿真数据x(n)=>/20sin(2>r0.2n)+V2sin(2^0.213/t)+其中nVO为0均值，单位方差的高斯白噪声。(2.)求兀(斤)的自相关矩阵Rxx(3.)利用上面推导出来的(4)式给出该谐波过程的ARMA过程所服从的法方程。其中公式中的y对应题目中的X。(4.)若用最小二乘方法，则根据题目要求，可直接取AR阶数2p分别为4和6,然后用最小二乘法求解法方程，得出AR参数的估计值若用总体最小二乘方法，则取较大的M和Pe,

7、列出法方程的增广矩阵，求出该矩阵的有效秩(即AR阶数的估计值)后，再用课本66页的总体最小二乘方法求得AR参数的估计值坷卫2，,0”。(5.)将所求得的AR参数％色，，勺代入(1)中，得该谐波过程的特征方程，求解该特征方程得其模为1的共辄复根。(6.)由式=

8、arctan[Im(zz)/Re(z;.)J

9、/2^即可求得正弦波频率的估计值。一.AR参数和正弦波频率估计值的统计结果根据以上理论及方法分别编写最小二乘和总体最小二乘的matlab程序，各独立运行20次，其结果及统计结果如下：1.最小二乘(1

10、.)AR阶数为4arMatrix二Columns1through12-0.4598-0.3507-0.1278-0.0943-0.3434-0.0737-0.2146-0.2919-0.3176-0.2331-0.7039-0.32750.88060.75430.80320.64900.90860.80110.64120.93840.68711.09461.03730.73500.16930.31330.41790.53400.22380.45620.46860.23660.37760.1731-0

11、.07780.3412-0.0202-0.07580.1129-0.02020.08420.1405-0.10230.1457-0.12190.3371-0.0110-0.0785Columns13through20-0.1600-0.2792-0.2207-0.1843-0.7587-0.2687-0.2143-0.48260.82840.71970.73270.65410.81801.00690.73440.88660.38460.37810.40420.47780.02830.20560.41

12、120.14850.1174-0.0642-0.0133-0.0708-0.26170.2302-0.0082-0.0244ar_mean=-0.30530.81560.30360.0148ar_var=0.03260.01740.02570.0186fvMatrix=Columns1through12000.120000.17090.120700.179300.1963000.20000.19990.19970.19980.19970.19990.19970.199