实分析与复分析修订稿

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1、实分析与复分析的联系与区别专业：数学与应用数学学生：谭宇指导老师：顾晓慧摘要：实变函数与复变函数是微积分向两个方向的延伸，一方面是在所研究的数域上的拓展，另一方面是将研究函数的性质由好到不好，但是其都是要涉及无限的研究，所以需要在集合论的基础上建立，而采用不同的测度方式•复变函数所研究的对象延续了微积分中研究对象的大部分好的性质，从而沿用了微积分中的研究方法，而实变函数中则由于性质的不好需要，需要利用Lebesgue测度，通过一系列的逼近方式使得性质比较好的函数逼近不好的•最后实变函数的lebesgue积分是一种Riemann积分的推广，有着更广

2、的研究范围.关键词：极限连续性测度集合论积分THECONNECTIONSANDDIFFRENCESBETWEENREALANAWSISANDCOMPLEXANALYSISMajor:MathematicsandAppliedMathematicsStudent:TanYuSupervisor:GuXiaoHuiAbstract：FunctionsofrealvariableandcomplexfunctionareboththeextensionsofthecalculusoComplexfunctionistheextensiononthenu

3、mberfiledandFunctionsofrealvariableextendtherangeofthefunctionwestudiedfromthegoodonestothesenotgoodones,butbothofthemareabouttheinfinite,soitisnecessarytoestablishthebasisofsettheory,andusingdifferentmeasurementmethods・Complexfunctionastheobjectofstudycontinuesthestudyofcalc

4、ulusinthemajorityofgoodnature,whichfollowsthecalculusoftheresearchmethods,andfunctionsofrealvariableinneedduetothenatureofthepoor,needtousetheLebesguemeasure,byaseriesofrelativelygoodapproximationofawaythatthenatureofgoodfunctionapproximation.FinallyaRealVariableFunctionofleb

5、esgueintegralisthepromotionofRiemannintegral,withabroaderscopeofthestudy.KeyWords：LimitContinuityMeasureSettheoryIntegral目录一引言1二数学分析基础上向实变函数与复变函数领域的发展1三实分析与复分析在集合论基础上的建立2四在测度理论上的不同2五实变函数与复变函数研究对象性质的好坏差异3六L积分与R积分的对比5七小结7参考文献8致谢9引言复变函数与实变函数是在数学分析基础上我们进一步学习的两个不同的分析方法，在复变函数中，我们基本

6、上延续了在数学分析中研究函数所应用的各种分析方法，只不过将研究的范围由实数域向复数域内的扩展。而在实变函数中，我们发现有很多函数是无法利用微积分中的方法来进行分析的，如著名的狄利克雷函数，这时便需要-•种全新的分析方式，从而我们通过Lebesgue测度，Lebesgue可测函数等在另外一个方式上对此类函数进行分析，最终通过函数逼近等方式使得所研究的函数可以利用较好性质的函数列逼近，最后我们引岀一种全新的积分方式Lebesgue积分。二数学分析基础上向实变函数与复变函数领域的发展实变函数即是是变量的函数，而其与数学分析有别，因为数学分析屮研究的都是

7、一些性质比较好的函数的性质应用，数学分析对于所研究函数的极限、连续性、可微性都有一定的要求。但是我们知道并不是所有的实数域内的函数都有着这么好的性质，比如著名的狄利克雷(Dirichlet)函数D(X)二1当X是无理数0当x是有理数我们知其基本的性质为：定义在整个数轴上，以任何止有理数为其周期，并且在其定义的区域内处处无极限，处处不连续，处处不可导。这便是一个性质十分“不好”的实函数。如果按照数学分析理论的方法来分析此类函数，即研究极限、连续性与可微、可导的方法,则会对此类函数无从下手。从而需要一个新的研究方法，即实变函数的理论。以狄利克雷函数为

8、例：我们对于狄利克雷函数进行积分，如果我们按照数学分析屮R积分的定义进行积分，我们可以发现，狄利克雷函数根本无法符合R积分的性质需求。而