2020版高考数学第二章函数、导数及其应用第十节变化率与导数、导数的计算学案理（含解析）新人教A版

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1、第十节　变化率与导数、导数的计算2019考纲考题考情1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′x＝x0，即f′(x0)＝＝。(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)。(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数。2．导数公式及运算法则(1

2、)基本初等函数的导数公式(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)。②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)。③′＝(g(x)≠0)。(3)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。1．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：′＝，(cosx)′＝sinx。2．f′(x0)代表函数f(x)在x

3、＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0。3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点。4．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小

4、f′(x)

5、反映了变化的快慢，

6、f′(x)

7、越大，曲线在这点处的切线越“陡”。一、走进教材1．(选修2－2P19B组T2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)A．－9B．－3C．9D．15解析　因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′

8、x

9、＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)。令x＝0，得y＝9。故选C。答案　C2．(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________m/s，加速度a＝________m/s2。解析　v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8。答案　(－9.8t＋6.5)　－9.8二、走近高考3．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________

10、。解析　y′＝aex＋(ax＋1)ex，则f′(0)＝a＋1＝－2，所以a＝－3。答案　－34．(2017·全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________。解析　因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为k＝y′

11、x＝1＝2×1－＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1。答案　y＝x＋1三、走出误区微提醒：①混淆平均变化率与导数的区别；②不用方程法解导数求值；③导数的运算法则运用不正确。5．函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为________，在x＝2处的导数为________。解析　函数f(x

12、)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3。因为f′(x)＝2x，所以f(x)在x＝2处的导数为2×2＝4。答案　3　46．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f(2)＝________。解析　因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，令x＝2，得f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，所以f(2)＝－8。答案　－87．已知f(x)＝x3，则f′(2x＋3)＝________，[f(2x＋3)]′＝________。解析　f′(x)＝3x2，所以f′(2x＋3)＝3(2x＋3)2，[f(2x＋3)]′＝[(2x＋3)3]′＝3(2x＋3)2(2x＋3

13、)′＝6(2x＋3)2。答案　3(2x＋3)2　6(2x＋3)2考点一导数的运算微点小专题方向1：已知函数解析式求函数的导数【例1】　求下列各函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝tanx；(3)y＝2sin2－1；(4)y＝ln(1－2x)。解　(2)先变形：y＝，再求导：y′＝′＝＝。(3)先变形：y＝－cosx，再求导：y′＝－(cosx)′＝－(－sinx)＝sinx。(4)设u＝1－2x，y＝lnu，则y＝ln(1－2x)是由y＝lnu与u＝1－2x复合而成，所以y′x＝y′u·u′x＝(lnu)′·(1－2x)′＝·(－2)＝＝。1．正确运用

14、导数公式。2．求导之前先对函数进行化简，减小运算量。方向2：抽象函数求导【例2】　已知函数f(