2020版高考数学第二章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性学案理（含解析）新人教A版

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1、第三节　函数的奇偶性与周期性2019考纲考题考情1．函数的奇偶性奇偶性条件图象特点偶函数对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)关于y轴对称奇函数对于函数f(x)的定义域D内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。1．一条规律奇、偶函数定义域的特点是关

2、于原点对称。函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。2．两个性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0。(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇。3．函数周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)。(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)。(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)。一、走进教材1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是(　　)A．y＝x2sinxB．y＝x2c

3、osxC．y＝

4、lnx

5、D．y＝2－x解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数。故选B。答案　B2．(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝则f＝________。解析　由题意得，f＝f＝－4×2＋2＝1。答案　1二、走近高考3．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________。解析　依题意得，f(

6、－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，由函数f(x)是奇函数，得f(2)＝－f(－2)＝12。答案　124．(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)。若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________。解析　因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f(x)的周期为6，因为919＝153×6＋1，所以f(919)＝f(1)。又f(x)为偶函数，所以f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6。答案　6三、走出误区微提醒：①利用奇偶性求解析式忽视定义域；②忽视奇函数的对称性致错。5．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x

7、>0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________。解析　设x<0，则－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋4(－x)－3]＝－x2＋4x＋3，由奇函数的定义可知f(0)＝0，所以f(x)＝答案　6．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________。解析　由图象可知，当00；当20。综上，f(x)<0的解集为(－2,0)∪

8、(2,5]。答案　(－2,0)∪(2,5]考点一函数奇偶性的判断【例1】　(1)已知函数f(x)＝3x－x，则f(x)(　　)A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是减函数(2)判断下列函数的奇偶性：①f(x)＝＋；②f(x)＝。(1)解析　函数f(x)＝3x－x的定义域为R，因为f(－x)＝3－x－－x＝x－3x＝－f(x)，因为y＝3x，y＝－x都是增函数，所以f(x)＝3x－x是增函数。答案　B(2)解　①因为由得x＝±1，所以f(x)的定义域为{－1,1}。又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1

9、)＝0，即f(x)＝±f(－x)。所以f(x)既是奇函数又是偶函数。②因为由得－2≤x≤2且x≠0。所以f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，所以f(x)＝＝＝，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数。判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域。2．判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系。在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0