一般线性电路的动态分析--拉氏变换法

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1、一般线性电路的动态分析--拉氏变换法9.1拉普拉斯变换一、应用拉普拉斯变换的理论背景对具有多个储能元件的复杂电路动态分析，以前只能用求解微分方程的方法，十分困难。拉普拉斯变换和傅里叶变换都是一种积分变换。利用该变换，可以将电路的微分方程求解变成代数方程求解；可以将过渡过程的动态分析，变成纯电阻电路的静态分析，使分析过程大大简化。所以拉普拉斯变换法是求解高阶复杂动态电路的有效而重要的方法。二、拉普拉斯变换的定义1、拉普拉斯变换一个定义在[0，∞)区间的函数f(t)，它的拉普拉斯变换式F(s)定义为式

2、中s=δ+jω为复数，F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为F(s)的原函数。注意：积分的下限↘0-定义中拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0-→0+时f(t)包含的冲激，从而给计算存在冲激函数电压和电流的电路带来方便。2、拉普拉斯反变换通常可以L[]符号表示对方括号里的时域函数作拉氏变换；用符号L-1[]表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换。注意：拉普拉斯正变换、反变换必须一一对应！例：求以下函数的象函数：（1）单位阶跃函数；（复习相关知识）（2）单位冲激函数；（复习相关知识）（3）

3、指数函数。解：（1）单位阶跃函数f(t)=ε(t)（2）单位冲激函数；f(t)=δ(t)=e-s(0)=1（3）指数函数；f(t)=eata为实数例：RLC串联电路，求电流i(t)=?++_u(t)i(t)S_uc(t)RL设电源电压为u(t)，电感中初始电流为i(0-)，电容中初始电压为uc(0-)。SR+_++_u(t)i(t)S_uc(t)RLU(s)+_uc(0-)/s1/sCsL+_Li(0-)运算电路图I(s)SR+_U(s)+_uc(0-)/s1/sCsL+_Li(0-)整理后有I(

4、s)求出I(s)，再求其拉普拉斯反变换，得到i(t)9.2拉普拉斯变换的基本性质一、线性性质设f1(t)和f2(t)是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为F1(s)和F2(s)，A1和A2是两个任意实常数，L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s)=A1L[f1(t)]+A2L[f2(t)]例：求以下函数的象函数：（1）f(t)=sin(ωt)（2）f(t)=K(1-e-at)解：（1）（2）f(t)=K(1-e-at)L[K(1-e-at)]=L[K]-L[e-at]

5、二、微分性质函数f(t)的象函数与其导数f’(t)=df(t)/dt的象函数之间有如下关系若L[f(t)]=F(s)则L[f′(t)]=sF(s)-f(0-)例：利用导数性质求以下函数的象函数：（1）f(t)=cos(ωt)（2）f(t)=δ(t)解：（1）s-0（2）由于δ(t)=dε(t)/dt=1f(t)=δ(t)=s-0在RLC例子中应用！三、积分性质函数f(t)的象函数与其积分若L[f(t)]=F(s)则的象函数之间有如下关系例：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数解：f(t)=tL[

6、f(t)]=在RLC例子中应用！四、延迟性质函数f(t)的象函数与其延迟函数f(t-t0)的象函数之间有如下关系若L[f(t)]=F(s)则L[f(t-t0)]=Otf(t)T例：求f(t)的象函数解：f(t)==Aε(t)A-Aε(t-T)L[f(t)]=A/s-A/s·e-sTOtf’(t)Otf’’(t)f’(t)+f’’(t)五、位移性质函数f(t)与eat乘积的象函数若L[f(t)]=F(s)则L[f(t)eat]=F(s-a)结论：由此可见，根据拉氏变换的性质，可以简化常用函数的拉普拉

7、斯变换。常用函数的拉氏变换及反变换对应表原函数f(t)象函数F(s)Aδ(t)Aε(t)Ae-at1-e-atsin(ωt)AA/se-atsin(ωt)常用函数的拉氏变换及反变换对应表原函数f(t)象函数F(s)e-atcos(ωt)te-attcos(ωt)常用函数的拉氏变换表见教材。9.3拉普拉斯反变换一、部分分式展开法电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理分式式中m和n为正整数，且n≥m。分解定理：把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表

8、中找到再相加，这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。具体步骤：1）用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有理分式化为真分式。(一般n＞m，已为真分式，这步不必。)若n=m，则2)用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，先求出D(s)=0的根，D(s)=0的根可以是三种情况：单根共轭复根重根二、D(s)=0具有单根的情况如果D(s)=0有n个单根，设n个单根分别是p1、p2、…、pn。于是F(s)可以展开为Ki=[(s-pi)F(s)]s=pi待定系数的另一个公式