Black_Scholes模型期权定价方法及其应用

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1、文章编号：1672・058X(2006)04-0351-03Black-Scholes模型期权定价方法及其应用李春泉，刘新平（陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710062）摘要:介绍了标准的Black-Scholes期权定价，推导出欧式期权定价的一•般微分方程及其解，给出了欧式看涨和看跌期权的定价公式以及平价关系，并对此加以分析和修改厉，使之应用于欧式期权衍半证券的定价、套期保值以及标的资产支付红利等各种情形。关键词：Black・Scholes模型;期权定价；欧式期权;红利屮图分类号：F830.91文献标识码：A期权是201比纪70年代中期

2、在美国出现的一种金融创新工具，30多年來，它作为一种防范风险和投机的有效手段而得到迅猛发展。所谓期权，又叫选择权，是指双方当事人达成某种协议，期权买方向期权卖方支付一足费用的，取得在未來到期口或到期前按协议买进或卖出一定数量某种基础证券（股票）的权利，期权卖方收取了一定的期权费用以厉，承担在未来到期日或到期日询按协议买进或卖出-•定数量某种基础证券的责任，当期权买方放弃行使权利时,他不得索取已支付的费用；同时,期权卖方则始终具有满足买方行使权利的义务。在这里，期权的买方获得这种权利是支付了一•定费用的；而期权卖方必须承担的义务是因为他获得了一定

3、的费用，这“一定的费用'便是期权的价格。1973年,美国芝加哥人学教授BlackF和斯坦福人#教授SchoesM发表了一，篇名^ThepricingofoptionsandCoiporateLiabilitiesTO著名论文111，在这篇文章中，给出了—个期权定价公式，即Black-Scholes期权定价模型（以下简称B・S模型），推导出基于红利股票的任何一种衍牛证券的价格必须满足的微分方程，并成功地求解了该方程，因此而获得诺贝尔经济学奖。这项理论及其以厉的多种变形，极人地推动了金融衍生工具市场的发展。在对套期保值或标的资产支付中间红利的情况

4、下，在B・S模型的基础上，作进一步的探讨，发现其修改公式对欧式期权的部分衍生产品仍可适用，还可反映红利对期权的影响，加强了此模型在实际中的应用。1B-S模型的理解考虑由两类资产（证券丿组成的连续贸易金融市场，一种是有风险资产（如股票丿，在,时刻其价格为s；另一类为在卅寸刻具有瞬时无风险利率为"〃的无风险资产（如债券丿，在卅寸刻具价格为畀考虑的时间区间为/0.T],0表示初始时间，T表示为到期Fl看作是随时间变化的连续时间变量，并服从下列随机微分方程.•dS；=£dcdS,=S,（Udr+odBJ其屮，炭示瞬时利率，是一个非负常数,H•由S：：=

5、1,有S：=er/>0,卩和。是两个常量，仏丿是一个标准布朗运动。因而当R仅当（ln（Sr））是一个布朗运动（不需要标准丿时，可得上述方程的一个解=Soexp(Ut-从这个模型中可以看到服从对数正态分布，且当U=（）时，为指数鞅。定义1一个布朗运动是一个实值连续的随机过程（xt）t>（）9并H是平稳独立增量过程，也就是说，连收稿日期:2006-04-25;修回日期:2006-05-12。基金项目：国家自然科学基金资助项H（40271037）。作者简介:李春泉（1981•）,男，湖北黄冈人，硕士研究生，主要从事应用概率论研究。续・・&(⑷丿是状

6、态连续的;增量独立性••当s＜耐，・X.、.与Fs=«(X“，mWs)不相关;增量平稳性••当sW耐，X『・X占X—X。具有相同的概率分布。此定义可由以下引理得到证明。引理1⑵如果(XJ沁是一个布朗运动,T、。是实常数，那么S,•S。对于变量。2『和J来说是一个任意的正变量。同样，随机过程(SJ也具有如卜•性质••样木空间的连续性；相对增量的独立性，当“WAS「/S〃或(St-SJ/S“与0•域不相关；增量平稳性••当MW耐，(S『•SJ/S“与S"-So/So具有相同的概率分布。由此可得tBlack-Scholes期权定价公式可归纳为如下3个

7、表达式;C=S°N⑷V•七N(d?)；d、eIn(So/V)+(广+1/2。-八；d2In(S()/V丿+(广・1/20?八oJl其屮，以J无风险利率(连续计算复利丿,•C为期权的现价,•S°为相应股票的现价沖为期权的执行价格;111(S./V)为％”的自然对数,为自然对数的底,•。为连续复利受益率的标准差；r为离期权到期LI的年数;N(d):正态函数在自变量为d时的累计和。可以发现，影响期权价格的变量冇人。以及正态分布函数等，所冇这些变量，除。(即股票收益率的标准差丿夕卜，其余都是很容易获得的，而股票收益率的标准差是可以佔计并利用公式进行计算

8、的。这3个公式不仅是对B・S模型的全面概述，而口将此模型在多方面进行了简化,扩大了它的使用范围，如它还nJ广泛应用于企业债券、债券眾价、保险、投资等诸