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1、与数列相关的不等式证明问题深圳中学郭玉竹数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和.放缩的方向是放缩为能求和的数列，一般地放缩为能拆项求和的数列或等比数列.高考中放缩的主要方法有五种：1.利用分式的基本性质放缩；2.利用函数的单调性放缩；3.利用不等式性质放缩.4.利用二项式定理放缩；5.利用定积分放缩.一、先求和再放缩：1.已知数列｛r•陽｝的前n项和Sn=9-6n.(1)求数列｛a」的通项公
2、式;(2)设仇=加2-10》乜」)，数列｛—｝的前n项和7；,求证：当n>l吋，Tn>~.3bn33解：(1)斤=1时，2・q=&=3,=—.当n>2时，2"•a”=Sn-=-6,afl=—./.通项公式an=<(2)当〃=1吋，b、=2-log2—=3，/.1•=—F()+()+…+()=勺优32334nn+6/?+1313•・•7；随着斤的增大而增大，・・・7；=丄一一>7；=->-.2.位于函数歹=3兀+亍的图象上的一系列点呂(兀
3、J),巴(兀2，歹2)，•••，£?(£』)，•••，这一系列点的横坐标构成以--为首项
4、，-1为公差的等差数列｛xj.(1)求点Pn的坐标；(2)设抛物线C
5、,C2，C3，・・・,C”,・••中的每一条的对称轴都垂直于兀轴，对于舁wN”第川条抛物线Cn的顶点为P",抛物线Cn过点Dn(0/2+1),且在该点处的切线的斜率为ktl.解：（1）由于£的横坐标构成以-上为首项，-1为公差的等差数列&〃｝,253故®=X+（〃一1）〃=（/2-1）=-72——•2213又P“（兀”，儿）位于函数y=3x+—的图象上，133135所以y=3xn+-=3（-n--）^—=-3n--.n4244一35所求点匕（£,儿）的坐标
6、为（一川——-3n——）.（2）证明：由题意可设抛物线C”的方程为y=atl（x-xn）2+儿,35即y-an(x+n+—)2-3n——•“2435由抛物线C“过点Dn(0/2+1),于是有兀2+1=%⑺+—)2_3〃——.3.5—)(/2>2),(2/t+1)(2/?+3)22斤+12/1+3111一+•••+:由止匕叫得色=l,y=(x+〃+—)~-3n——・故心=y3^=o=2(x+n+-)
7、x=o=2n+3.U(L—・・・+(L)257792n+l2/?+3所以于是丄+心k2k3kn_Ykn_1/1I、1252/1+3
8、10em11I】即++•••+<——kk2k2k3kn-kn10（二）先放缩再求和3.已知不等式丄+丄+…+->-[log,n],其中az为不大于2的整数，[log.n]表示不超过log"23/?2的最大整数.设数列仏”｝的各项为正且满足q=b（b>0aH<—匕」(心234…)证明:2b2+/?[log2n]证明：由条件心5叫得：—>—4-丄，〃+%an%n11、1/、c11、1/.n—（/?n2）,n—5an-HCln-an-2比一】以上各式两边分别相加得：丄丄丄.a2aA2anainn-21n-+…+*>{
9、+晁2详2b22+/?[log2n]2b2ban<2+Z>[log2n](n>3).点评：本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明.4.设a>0,函数/(兀)=——.厂+Q(I)证明:存在唯一实数xoG(0,丄)，使/(%o)=xo;a(II)定义数列{兀}:西=0,xn+}=/(xn),HGN(i)求证:对任意正整数n都有兀2心v兀。V兀2”；(ii)当a=2时,若0伙=2,3,4,…)，*1证明：对任意meN都有：xm+k-xk<亍■承T•证明：对任意meN"都有：xm+k-xk<3；_
10、•(I)证明
11、：①/(X)=x<=>x3+ca-l=0.令力(兀)=疋+股—1,则/i(0)=-1<0,加丄)=丄>0,aa:./2(0)./?(-)<0.a又h!(x)=3x2+a>0,/.h(x)=x3+ax-1是R上的增函数.I、故h(x)=x3ax-1在区间0,—上有唯一零点,la丿(1、即存在唯一实数兀0^0,-使/(XO)=XO.Ia)②当斤=1时，西=0,%2=/(^)=/(0)=-,rtl①知x()g
12、0,a设当/?=k{k＞2)时，兀心v兀vx”,注意到/(x)=-^―在(0,+oo)上是减函数，且忑＞0，f+G故有:f（
13、x2k^）＞f（xQ）＞f（x2k）,即心＞兀0＞兀2R+1即兀2知1V如VX2M•这就是说,〃=£+1时，结论也成立•故对任意正整数n都有:“＜如＜X"•(2)当a=2吋，由£二0得：吃二f(x)=/(0)二丄，卜2—兀111石+2石+2（忙+2）（幷+2）丕—祇+占
14、弓
