中考数学复习指导：利用几何画板解决动态几何问题

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1、利用几何画板解决动态几何问题本文从三个方面谈谈动态几何问题的解题思路.一、动点问题动点问题是探索某个儿何图形上，一个或儿个点在运动变化过程中形成的数量关系、图形状态、图形之间的特殊关系等.解决此类问题，须关注点的运动方向、范围和速度，以便确定是否需要分类讨论.例1已知直角坐标系中，菱形ABCD的位置如图1,C、D两点的坐标分别为(4,0),(0,3),线段BE是菱形的高.现在有两个动点P,Q分别从A,C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒.(1)求菱形ABCD的

2、边长和它的而积及BE的长；(2)探究下列问题：①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位.当点Q在线段BA上时，求AAPQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒k个单位.在运动过程中，任何时刻都有相应的聶值，使得AAPQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形.探究(=4秒的情形，并求出k的值.解析问题(1)比较简单，利用勾股定理就能求出菱形的边长和面积及BE的长；问题(2)的第①小题中，由于点P、Q都在运动，AAQP的大小在变化，点

3、P、Q的运动吋间范围都不知道，因此求AAQP的血积的函数关系式及血积的最大值感觉无从下手，那么，如何才能解决问题呢？利用儿何画板作图1观察：①点击鼠标使点P、Q同时运动，观察点P、Q停止运动的时刻，找出运动时间范围；②观察AAQP大小随时间变化而变化，并在不同时刻作出它的高，找出AAQP的面积最大时刻；③观察这些三角形的高有什么位置关系？它们与线段BE有什么关系？④利用三角形相似，可以求出厶AQP的高.这样，它的面积为：242241+—t25524/=-25('-y)+&0

4、题(2)的第②小题中，由于等腰三角形AQP并没有指定它的两腰，所以结论必须分情况讨论.利用几何画板作图2观察：点击鼠标使点P、Q同时运动，观察点Q的位置随着时间变化而变化，当点Q分别在边AB或边BC±时，来讨论AQAP三边之间的关系.图2（i）当点Q在边BC上时,PQNBE>PA,只存在点Q,使QA=QP.•・•ACQMsMFM,・些二坐co_丝…CQ_AF1V—5，妣22i114k==10；（ii）当点Q在AB上时，存在两点分别使AP=AQ.AP=PQ.若AP=AQ（如图3）,则必=10-4=6,jt=y;

5、若PA=PQ（如图4）,通过点P作PF丄AQ,垂足为F・由空—陛田AP一AS'得P，譽二%AF=-P尸25928259偿）AQ=2AF=g.于是，必=10-誇19425，9750综合上所述，当t=4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为耳，或丄，或2Z.10250点评此题是以点的运动为背景，难度较大的一道综合题.抓住动点Q与定点A,与P构成等腰三角形是关键，再分类讨论，综合分析得出结论.二、动线问题动线问题是探索某个几何图形上，某线段在运动变化过程中形成的数量关系、图形的状态、图形之间

6、的特殊关系等.例2已知如图5,等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段““在厶ABC的边上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时，点M与点A重合,点IV到达B点时运动终止).过点M、N分别作AB的垂线，与AABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒.(1)线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积;(2)线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t,求四边形MNQP的面积S随运动时间t的变化的函数关系式，并写出自变量t的取

7、值.图5图6解析在题(1)中，可利用几何画板作图6,点击鼠标使线段MN运动，观察四边形MPQN的形状，当四边形MPQN为矩形时使运动停止，分析可知此时AACB的高是线段MN的垂直平分线，问题也就迎刃而解了.题(2)中的关键问题是，随着时间变化，四边形MPQN不但形状变化而旦大小也在变化.对此，可利用儿何画板作图7、图8、图9,用鼠标点击，使线段肘IV运动，观察四边形MPQN的形状可以知道，在不同的时间段，四边形MPQN的形状大小都在变化，须分别讨论.⑴线段MN在点D的左侧，四边形MNQP是梯形，如图7.t的取

8、值范围是OWtWl.AMNDB图7AM"幵B图8•(ii)线段MN在D点的两侧，四边形MNQP是梯形，如图8.t的取值范围是lWtv2・(iii)线段MN在点D的右侧，四边形MNQP是梯形，如图9.t的取值范圉是253.ADMNB图9四边形PMNQ的面积-^31+•事(2