中考数学复习指导：例谈解直角三角形在实际问题中的应用

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1、例谈解直角三角形在实际问题中的应用纵观近几年各地中考数学试题，解直角三角形是中考命题的热点之一，特别是解直角三角形的应用问题，如测高、测距、航海、堤坝的横截面等，备受命题者的青睐。现以各地屮考中的部分相关考题，归纳出一般解题思路和方法，供大家参考。一、关于测塔高的计算例1某公园内有一湖泊，湖心有一小岛，岛上有一棵大树，树高不知，树也无法靠近。⑴请你利用所学知识，用测角仪和皮尺完成树高的测算。⑵若测得角设为特殊角（30。,45°,60°中方案，计算树高。解：①可先在湖边测得树顶的仰角Za,然后后退a米，测得树顶仰角为ZP,利用解直角三角形的知识计

2、算树高②如图所示，设树高为x米，贝ijCB=AB=x•・•ZD=30°.DB=V3x・・・V3x-x=10・・・x=5a/3+5例2如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架，小山的斜坡的坡度z=l：V3,斜坡3D的长是50米，在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的仰角为45°,在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60°•（1）求小山的高度；（2）求铁架的高度.（巧=1.73,精确到0」米）解：（1）如图，过D作DF垂直于坡底的水平线BC于点F.由已知，斜坡的坡比z=l:>/3•:坡角ZDBC=30°即小山的高为25米于是在RtA

3、DFB屮，DF（2）设铁架的高AE=x.在RtAAED^,已知ADE=60S于是DE=^h=4x在RtAACB^,已知ZABC=45°,JAC=AE^EC=AE^DF=x^25又BC=BF+FC=BF+DE=2迟+「x3由AC=BC,得兀+25=25巧+匣兀3Ax=25a/3-43.3,即铁架高43.3米即塔高为（5馆+5）米二.关于测河宽的计算例3在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31。的方向上,沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在B北偏西45°的

4、方向上，请你根据以上数据,帮助该同学计算出这条河的宽度.（参考数值：画31。sin31°心丄）52解：过点C作CD丄AB,垂足为D,设CD=x米,A&在RtABCD中，ZCBD=45°,・・・BD=CD=x米.在RtAACD屮，ZDAC=31°,AD=AB+BD=(20+x)米，CD=x米CDTtanZDAC=,AD・3兀・杯・・一=,・・x=30.520+x答：这条河的宽度为30米.三、关于轮船的航行问题的计算例4如图，小岛A在港口P的南偏西45。方向，距离港口81海里处.甲船从A岀发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，

5、沿南偏东60。方向，以18海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发，(1)出发后儿小时两船与港口P的距离相等？(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向？(结果精确到0.1小时)(参考数据：V2-1.41,希=1.73)解：(1)设出发后x小时两船与港口P的距离相等.根据题意，得81-9x=18x.解这个方程，得x=3.・•・出发后3小时两船与港口P的距离相等.(2)设出发后x小时乙船在甲船的正东方向，此时甲，乙两船的位置分别在点C、D处，连接CD.过点P作PE丄CD,垂足为E,则点E在点P的正南方向.在RtACEP中，ZCPE二45°,/.PE=P

6、C•cos45°.在RtAPED中，ZEPD=60°,•PE=PD•cos60°•APC•cos45°=PD•cos60°•(81-9x)•cos45°=18x•cos60°.解这个方程，得x~3.7.・••出发后约3.7小时乙船在甲船的正东方向.由以上题例对知，解决此类问题必须弄清有关概念，如仰角、俯角、方位角、坡度等,在此基础上根据题目的实际意义通过数学抽象转化为数学三角模型，也就是画出示意图，然后根据条件求解。涉及到解斜三角形问题吋，必须借助特殊角作辅助线构造直角三角形来求解。