数学教师业务能力考核陈学军

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1、一道圆锥曲线题的解答与拓展望城区职业中等专业学校陈学军各位评委大家好，我是来自望城区职业中等专业学校的陈学军，今天我要说题的题目是一个有关圆锥曲线的题目。对于本题，我将秉承“启发引导”、“授人以渔”的教学理念，我将从题目的来源背景、解题方法、延伸拓展、教学分析等四个方面谈谈我在课堂教学中对这道习题的处理与使用，请各位专家批评与指正。一、来源背景这是湖南省2014年普通高等学校对口招生考试数学试卷的第20题，在对口招生数学试卷中圆锥曲线是一个热点，每年都会有一个大题。今年的这道题知识点涉及椭圆的方程、离心率、焦距、两直线垂直的判定等，考查学生数形结合思想、方程思想、化归与转化思想。大家

2、知道一题多解、一题多变是培养学生数学思维能力和解题能力的有效方法，对于本题通过提问引导发现不同的解题方法，然后再将题目分阶段拓展，鼓励学生自主探索其规律，不但能够训练学生解决此类题目的思维，而且还能培养学生的综合应用及探索化归能力。20．（本小题满分10分）已知椭圆C：的离心率为，焦距为（I）求C的方程；（II）设分别为C的左、右焦点，问：在C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。二、解题方法（I）由已知和,得，，，故C的方程是（II）方法1：利用勾股定理设存在点M，使得，则即化简得（1）又点M在椭圆上有（2）解方程组得故有四个点，坐标分别是，，，。(说

3、明：由于椭圆是轴对称也是中心对称图形，以下解法以第一象限内的点为例。)评析：看到直角三角形，学生最先想到的可能就是勾股定理，这是初中阶段数学学习的重要内容之一，在解析几何中利用勾股定理计算量相对来说还是较大的。方法2：利用直线的斜率设存在点M，使得，则得到，即（余下同解法一）评析：利用两直线垂直的斜率性质可很快得到，这个学生也容易想到。方法3：利用向量法设存在点M，使得则，，因为，所以，即，即（余下同解法一）评析：利用向量的数量积也是一种很好的解好的解决问题的方法，这里的关键是学生不能将两向量弄错了。方法4：利用直角三角形相似的性质(即射影定理)设存在点M，使得，过M作，交X轴于E，

4、因与相似得即（余下同解法一）评析：利用相似三角形的性质学生可能难以想到，但这正是数与形的完美结合，在图形中找到所要的数量关系。前面用四种不同的方法得方法5：构造圆由于所以以O为圆心c为半径的圆与椭圆有交点，为半径作圆，则椭圆C与圆O交点就是M，圆O的方程是，解方程组得到点M的坐标。评析：构造圆这一种方法，学生最好理解，但能想到构造法先得对圆的有关性质有很深的理解，我最后问学生哪种方法你最容易掌握，都说是这一种。方法6：利用面积公式与椭圆的定义设存在点M，使得根据椭圆的定义有即又故得即评析：这里就利用了椭圆的定义，三角形的面积公式等知识，巧妙的求出了M点的纵坐标。三、延伸拓展变式1、已

5、知椭圆C：，设、分别为C的左、右焦点，问：在C上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。变式2、已知椭圆C：，设、分别为C的左、右焦点，当点M在椭圆上时，求当最大时，点M的坐标。变式3、已知双曲线的方程为设分别为双曲线的左、右焦点，问：在C上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。拓展1已知椭圆C：，设、分别为C的左、右焦点，讨论：①满足什么条件时存在点M，使得，②满足什么条件时不存在点M，使得,并说明理由。（时有四个交点，时有两个交点，时没有交点）拓展2已知椭圆C：的两个焦点为、，M是椭圆上不同于长轴端点的任意一点，且，试用或及表

6、示的面积。解：由椭圆的定义可知，设，，则，所以在中，由余弦定理有所以，所以故的面积利用这个结论解原题就十分简单了，。一个顶点在椭圆上另两个顶点为椭圆焦点的三角形称为焦点三角形，记住椭圆的焦点三角形面积公式对解题有帮助。同样可得到双曲线焦点三角形的面积公式四、教学分析这是一道解析几何的综合题，可以在学习完椭圆后或综合复习时讲解。圆锥曲线这一章对于职高生而言是比较难的，要掌握的概念、公式、定理、性质本来就很多，还要灵活运用，而在解题时又要数形结合，找到数与形的最佳结合点，才能在解题时得心应手。而此题要用到两直线垂直的判断，两直线垂直的判定有很多种方法，如利用勾股定理、斜率、向量这些常规的

7、方法，成绩好一点的学生应该能想到其中至少一种。我在讲这一道题时先让他们自己分析自己来做，发现他们大都是用斜率、向量这些通法来求，有一些同学做得很好。讲解的时候先引导，假设存在这样的点M，要求出点M的坐标，就有横坐标、纵坐标两个量要求，可以列一个方程组，利用点M在椭圆上可列一个方程，另一方程肯定只能用垂直的条件来列，这样同学们就有了基本的解题思路。有讲得不对的地方请批评指正，谢谢各位评委。