2018高考数学考点突破——选考系列：不等式的证明+含解析

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1、不等式的证明【考点梳理】1.基本不等式定理1：设a,bUR,则a2+b2^2ab9当且仅当a—b吋，等号成立.定理2：如果a,b为正数，则茫卫当J4仅当时，等号成立.定理3：如果a,b,c为正数，则"+?+*蚯,当且仅当a=b=c吋，等号成立.定理4：(一般形式的算术一几何平均不等式)如果6,a2,…，a〃为门个正数，则一2勺aids，当且仅当6=。2=・・・=。<7时，等号成立.2.不等式证明的方法⑴比较法是证明不等式最基木的方法，可分为作差比较法和作商比较法两名称作差比较法作商比较法理论依据a>b^a~b>0aa—b<0a=b^a—b=Oab>0,£>l=>a>b

2、abVO,^>l=>a0,b>0,求证：书+靠上込+远.(a—b)(y[a—y[b)(込+远)(込一观)?、±0,扌一.曲汗远皿+皿/y[a+-[by[ab(^[a-~

3、y[b)(込+观)(q—a+h、2l~cib~审TpTT，yj7d?(yla+y[h>)又a>0,b>0,[ab>0f・••莎+頁鼻込+远.【类题通法】1•在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a>b转化为证明

4、>1(&>0)・2.作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号.【对点训练】设a,b是非负实数，求证：a2+b2^yl~ab(a+b).[解析]因为/+/—個@+仍=(cr—ci[ab)+(b2—/7[ab)=a[ci(yfci—y[b)+b[b(y[b—y[a)=

5、(y[a—y[bXa[ci—by[b)(i1A(33、a2-b2戶-沪丿丿因为q20,丄丄12b20,所以不论a2b20,还是0WaWb,都有/一沪与/一沪(i1A<33、a2-b2a2-^丿丿同号，所以所以cT+b2^y［ab(a+b)・考点二、综合法证明不等式【例2】设a,b,c均为正数，且a+b+c=l,证明：(1)ab+be+gcW*；(2)b+c+q上1・［解析］⑴由cr+b2^2abf&+*2bc,圧+急2«,得a2+Z?2+c2^a/?+/?c+ca,由题设得(d+b+c)2=l,即tz2+/?2+c2+lab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+

6、ca)W1,即ab+bc+caW*.22o(2)因为三2a,~+c^2bf~+a^2cf2>22故万+—+—+(a+/?+c)$2(d+b+c),CxKxv42122J?则~b+7+^a+b+c^所以万+：+万$i・【类题通法】1•综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A今Bi今B2=>・・・=>B”为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“•・•，・・”或T・2.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.【对点训练】已知函数yu)=2*+i

7、+i兀一

8、2

9、・(1)求夬兀)的最小值m；.2、22(2)若cz,b,c均为正实数，且满足a+b+c=m,求证：七+*+牛23・［解析］(1)当x<-l时，Xx)=-2(x+l)-(x-2)=-3x>3;当一1W兀V2时，人兀)=2(兀+1)—(兀一2)=兀+4丘［3,6);当兀22时，夬劝=2(兀+1)+(兀一2)=3兀$6・综上，y(x)的最小值m=3.(2)证明：a,b,c均为正实数，且满足d+b+c=3,,222因为—+^+^+(a+b+c)事2创鼻a+1即b+yjc)=2(a+卄c).(当且仅当a=b=c=1时取“=”).922所以万+万+：纹+b+c，即万+万+汗3・考点

10、三、分析法证明不等式【例3】设g,b,c,〃均为正数，且a+b=c+d,证明:(1)若ab>cd,则y[a+yj7)>y[c+y[d；(2}^+y[b>^+y[d^a—b(讥+曲2,也就是证明q+方+2寸亦〉c+d+2灵只需证明寸亦>^/石，即证ab>cd.由于ab>cd,因ity[ci+yll)>y[c+y[d.(2)①若a—b