2019高考数学考点突破——选考系列：参数方程 Word版含解析.pdf

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1、参数方程【考点梳理】1．曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝ft，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲y＝gt线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例x＝ft，如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那

2、么y＝gt就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．3．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，(t为参数)y＝y＋tsinα0x＝rcosθ，圆x2＋y2＝r2(θ为参数)y＝rsinθx2y2x＝acosφ，椭圆＋＝1(a>b>0)(φ为参数)a2b2y＝bsinφ【考点突破】考点一、参数方程与普通方程的互化x＝－4＋cost，x＝8cosθ，

3、【例1】已知曲线C：(t为参数)，C：(θ为参数).12y＝3＋sinty＝3sinθ(1)化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；12π(2)若C上的点P对应的参数为t＝，Q为C上的动点，求PQ的中点M到直线C：1223x＝3＋2t，(t为参数)距离的最小值.y＝－2＋t[解析](1)由C消去参数t，得曲线C的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1.11x2y2同理曲线C的普通方程为＋＝1.2649C表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C表示中心是坐标原点

4、，焦点在x轴上，长半轴12长是8，短半轴长是3的椭圆.π(2)当t＝时，P(－4，4)，又Q(8cosθ，3sinθ)，23故M－2＋4cosθ，2＋sinθ，2又C的普通方程为x－2y－7＝0，355则M到直线C的距离d＝

5、4cosθ－3sinθ－13

6、＝

7、3sinθ－4cosθ＋13

8、3555485＝

9、5(sinθ－φ)＋13

10、其中φ满足tanφ＝，所以d的最小值为.535【类题通法】1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．2．把

11、参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．【对点训练】x＝3cosθ，在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方y＝sinθx＝a＋4t，程为(t为参数).y＝1－t(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.[解析](1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.x2曲线C的标准方程是＋y2＝1，921x＋4y－3＝0，x＝

12、－，x＝3，25联立方程x2解得或＋y2＝1，y＝0249y＝.252124则C与l交点坐标是(3，0)和－，.2525(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.设曲线C上点P(3cosθ，sinθ).

13、3cosθ＋4sinθ－4－a

14、

15、5sin（θ＋φ）－4－a

16、3则P到l距离d＝＝，其中tanφ＝.17174又点C到直线l距离的最大值为17.∴

17、5sin(θ＋φ)－4－a

18、的最大值为17.若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.若a<0，则5－4－a

19、＝17，∴a＝－16.综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.考点二、参数方程的应用x＝2cosθ，【例2】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线y＝2＋2sinθ2x＝1－t，2l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐2y＝t2标系.(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求

20、PM

21、·

22、PN

23、的值.2x＝1－t，2[解析](1)直线l的参

24、数方程为(t为参数)，2y＝t2消去参数t，得x＋y－1＝0.x＝2cosθ，曲线C的参数方程为(θ为参数)，y＝2＋2sinθ利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0.令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0).把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－32t＋1＝0，∴t＋t＝32，tt＝1.1212由直线参数方程的几何意义，

25、PM

26、·

27、PN

28、＝

29、t·t

30、