2018年高考数学专题复习：利用导数证明不等式的常见题型

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1、利用导数证明不等式的常见题型1.(2017•课标全国III卷理)已知函数/任)=疋-2*+°("_+厂为有唯一零点，贝I"在R上单调递D.12.(2016*天津卷文)已知函数/(x)=X减，且关于X的方程If(x)

2、=2-恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是.[+X3.(2015-北京理)(本题满分13分)已知函数/(X)=In——1-x(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程;(II)求证：当xe(0,1)时，/(x)〉2(x+斗);(III)设实数k使得/(x)>k(x+兰)对兀w(0,1)恒成立，求k的最大值.4.(201

3、7•课标全国II卷文)(本题满分12分)设函数f(x)=(~x2)ex.(1)讨论.徊的单调性；(2)当兀》0时，f(x)

4、y=0平行.(I)求Q的值；(II)是否存在自然数使方程/(X)=g(x)在伙裁+1)内存在唯一的根？如果存在，求出如果不存在，请说明理由；(III)设函数m(x)=min{/(x)?g(x)}(min(p,^)表示p,q中的较小值)，求加(兀)的最大值.一.17.(2015课标全国I卷理)(本题满分12分)已知函数/(x)=x3+ox+—,g(x)=-lnx.4(I)当a为何值时，x轴为曲线y=f(X)的切线；(II)用min{〃2,〃}表示加,n中的最小值，设函数方(兀)=min{/(x),g(x)}(x>0)，讨论〃(兀)零点的个数.&(20

5、16-天津理)(本题满分14分)设函数/(x)=(x-l)3-ax-b,xeR,其中q,beR.(I)求/(Q的单调区间；(II)若/(x)存在极值点％,且/(%!)=f(x0),其中兀］工兀°,求证：兀］+2兀0=3；(III)设。>0,函数g(x)=

6、/(x)

7、,求证：g(x)在区间［0,2］上的最大值不令于占.9.(2017・课标全国III卷理)(本题满分12分)已知函数f(x)=x--ax.(1)若/(x)>0,求的值;(2)设加为整数，且对于任意正整数，(1+*)(1+*)槩(1*)<加，求用的最小值.9.(2017•课标全国II卷

8、理)(本题满分12分)己知函数/(X)=ax2,-ax-xInx,且/(x)>0.(1)求a；(2)证明：/(兀)存在唯一的极大值点兀，且e~2

9、/(x),即x=1为f(x)的对称轴,由题意,/(x)有唯一零点，・・・/(x)的零点只能为x=l,即/(1)=12-2-1++e-,+,)=0,解得Q=片.2.（2016•天津卷文）已知函数几兀）十⑷一处+3"八°仗〉0且心1）在R上单调递logjx+l）+l,x>0X减，且关于X的方程17（x）1=2-^恰有两个不相等的实数解，则G的取值范围是.【答案】甘,I）（3y—/>0,213r【解析】由函数/（X）在R上单调递减可得］0。<1,解得扌引寸.关于X的方程金）

10、=2—专恰3a>,x2有两个不相等的实数根，即曲线歹=金）

11、与函数j=2-

12、的

13、图像恰有两个交点，则3水2,12综上可得a的取值范围是茎彳【点评】关键点拨：注意数形结合思想在解题屮的应用，将方程的零点个数转化为两个函数图像的交点个数问题，通过观察图像，进而确定不等式，求得参数的取值范围.测训诊断：（1）本题难度较大，主要考查函数与方程，考查学生数形结合思想的应用、运算求解能力，意在让部分学生得分.(2)本题若出错，一是不能正确地进行转化；二是运算错误；三是不能利用数形结合思想直观转化.[+X2.(2015-北京理)(本题满分13分)已知函数f(x)=In•1-x(I)求曲线尹=/(X)在点(0,/(0))处的切线方程；V3(I

14、I)求证：当xg(0,1)时，/(x)>2(x+—)；X(III)设实数k使得/(x)>gv+—)对XG(0,1)恒成立,