数学思维训练第5讲比与比例

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1、第5讲:比和比例关系学习比和比例关系是提高小学数学综合能力的一个重要方面，深刻理解相关联的量是学习的基本要求。比和比例主要包括比、按比例分配和正比例、反比例应用题，解答比和比例问题应综合运用比和比例的意义、性质，它常常同分数应用题、工程问题以及行程问题等交织在一起，使数量关系变得复杂起来。比例问题的解题思路与方法是：第一步要找出与问题有关的两种相关联的量，并正确判断它们是否成比例关系，是成正比例还是反比例；第二步找出两种量的对应数值,并将未知数量设为X；第三步根据正、反比例意义列出比例式；第四步解比例，求

2、出X的值；第五步检验、写出答句。期中判断是否成比例，是成正比例还是分比例，是解题的关键。【例1】一个等腰三角形，顶角和底角的度数比是2:1,求这个三角形三个内角各是多少度？这个三角形是什么三角形？（提示：三个内角的度数比是什么？）练习：建筑用混凝土是由水泥、沙、石子按5:4:3搅拌而成，某公司建筑住宅楼需混凝土2400吨，需水泥、沙、石子各多少吨？【例2］光明小学将五年级的140名学生分成三个小组进行植树活动，已知第一组和第二组人数的比是2:3,笫二组和笫三组人数的比是4:5,这三个小组各是多少人？（提示

3、：怎样转化成三组人数的比呢？）练习：一个长方体的棱长总和是360厘米，长、宽、高的比是2:3:4,求长方体的体积是多少立方厘米？Q9【例3】甲数是乙数的亍，乙数是丙数的卡,甲、乙、丙三个数的比是多少？（提示:我们把分数转化成比后，从甲：乙=3:4,丙：乙=5:2中你发现了什么？）练习：有一块合金，含铜和锌两种金属，铜和锌的重量比是3:5,现在加入锌8克，这块新合金重量是40克。求新合金屮锌有多少克?【例4】甲、乙两个人原来的钱数比是3:4,后來甲给乙50元，这时甲、乙两人钱数比是1:2。甲、乙原来各有多少

4、元？（提示：用比例式可以解答，你还可以用其他方法吗？）练习：加工一个零件，甲、乙、丙所需的时间比是4:5:6,现在有740个零件要加工,如果规定用同样的实践完成任务。甲、乙、丙各应加工多少个？【例5】师傅加工一批零件需要10小时，徒弟加工这批零件需要15小时,师徒一起做，当师傅加工30个零件时，徒弟加工了多少个零件？（提示：师徒二人的时间比和他们的效率比有什么联系？）练习：甲、乙、丙三人共有钱54元，甲用了自己钱数的善，乙用了自己钱数的亍,丙2用了自己钱数的刍，各买了一只钱数相同的钢笔。那么他们三人原來各

5、有多少元？故事一：正反比例兄弟在遥远的数学王国里，有许多好玩的事物：整数、小数、分数、正数、负数等等，他们生活的非常快乐、整天无忧无虑的玩耍。一天，数学王国来了一对奇妙的正反比例兄弟。大家感到十分惊讶，都情不自禁地惊叹道：“天啊！你们是谁？为什么耍到这里来？我们以前怎么没有见过呢？”“就是，就是！”其他人也跟着嚷嚷起来，场面顿时一片混乱。这时，数学王国的国王走过来，对大家说：“大家不要惊慌，这是我们数学家族的一员。只不过几十年前，他们的祖先因为某些原因和我们失散了。现在，他们又回来了。下面，就请他们介绍一

6、下自己吧！”听了国王的话，大家恍然大悟，原来是一家人啊！正比例首先向大家介绍了自己：“大家好！我叫正比例，就如国王刚才说的那样，在几十年前我们也是一家人。但是，我和你们又有些不同的地方，因为大家都表示一个数或一种关系，而我是一种十分复杂的东西。大家知道比例吧？我就是比例的好朋友，但是我们又有不同。比例表示两个比值相等的比，而我是表现两种或多种数字的相关联的关系。我这么说，大家一定还没听懂，我给大家举个例子吧！例如：当一个圆柱的底面积是10平方厘米，它的体积和高就成正比例（高1厘米，体积为10立方厘米；高4

7、厘米，体积为40立方厘米；高5厘米，体积为50立方厘米）。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。像刚才的几个例子，高如果增加，体积也随之增加，所以，它的体积和高成正比例。说得再简单一点，就是如果一样事物增加了，另一样事物也随Z增加，它减少了，另一样事物也随Z减少，这两个事物的关系就叫做成正比例关系。生活中述有许多这样的例子，女山当某物品的单价一定时，它的总价和数量成正比例；当速度一定时，路

8、程和时间成正比例；当工作效率一定时，工作总量和工作时间成正比例等等。”听完正比例的解说，大家总算明白了正比例是什么。接下来，反比例要开始介绍他自己了。反比例说：“知道了我哥哥一一正比例，想了解我就容易多了。正比例的特点是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量的比值（商）不变，这两种量就成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。而我呢,则是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，如果这两种量中相对应的