初二 第8讲 平行与比例(思维拓展班)

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1、第8讲平行与比例1/4第8讲平行与比例平行线是初中平面几何中基本而重要的图形，平行线能改变角的位置并传递角，可“送”线段到恰当处，完成等积变形，当一组平行线截两条直线时就得到比例线段，平行线分线段成比例定理是研究比例线段、相似形的重要理论．利用、挖掘、创造平行线，是运用平行线分线段成比例定理解题的关键，另一方面，需要熟悉并善于从复杂图形中分解或构造如下形如“E”、“A”型或“X”型的基本图形：【例1】如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=．【例2】如图，△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD与CE

2、相交于F，则的值为（）A、B、C、D、2【例3】如图，BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，E、D为垂足．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）若=3，F、G分别为AE、AD上的点，FG交AB于点H，且=3，求证：△AHG是等腰三角形．【例4】如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．（1）P，E，F分别是BC，AC，BD的中点，求证：AB=PE+PF；（2）如果P是BC上的任意一点（中点除外），PE∥AB，PF∥DC，那么AB=PE+PF，这个结论还成立吗？如果成立，请证明；若不成立，请说明理由．第8讲平行与比例2/4注若题设条件无

3、平行线，需作平行线．而作平行线要考虑好过哪一点作平行线，一般是由比的两条线段启发而得的，其目的是构造基本图形．平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，比例线段丰富了我们研究几何问题的方法，主要体现在：(1)利用比例线段求线段的长度；(2)运用比例线段证明线段相等，线段和差倍分关系、两直线平行等问题．【例5】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM•PN=PR•PS．【例6】已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EF⊥BD，垂足为

4、F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．若将图中的垂线改为斜交，如图，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过点E作EF∥AB交BD于点F，则：（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．【例7】如图，已知在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，=，FE与AC相交于G，求证：AG=AC．第8讲平行与比例3/4训练题一、填空题（）1、如图，△ABC中有菱形AMPN，A、3：2；1B、4：2：lC、5：2：1D、5：3：2如果，则=．10、如图，在梯形ABCD中，2、如图，AD是BC边上的中线，F是AD

5、∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，AD上一点，CF的延长线交AB于点E，CD=4，若EF∥BC，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，则EF若，则=；若，则的长为（）A、B、C、D、=．11、如图，在□ABCD3、如图，已知点D为△ABC中中，E、F分别是边AD、AC边的中点，AE∥BC，ED交BC的中点，AC分别交AB于点G，交BC的延长线于BE、DF于G、H，试判点F，若，BC=8，则AE的断下列结论：①△ABE≌△CDF；长为．4、如图，在平行四边形ABCD中，②AG=GH=HC；③EG=BG；④S△ABE=S△AGE，其中正AB=4cm，BC=lcm，E是CD边上确的结

6、论是（）一动点，AE、BC的延长线交于A、1个B、2个C、3个D、4个点F，设DE=x（cm），BF=y（cm），用x的代数式表示y12、如图，已知△ABC，，，得．5、如图，在梯形ABCD中．AB∥CD，AD、BE交于F，则的值（）AB=3CD，E是对角线AC的中点，BEA、B、C、D、延长后交AD于F，那么=.13、如图，已知DE∥BC，EF∥AB，6、如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，过O任作一直线与CD、现得到下列结论：①；BC的延长线分别交于F、E点，设BC=a，CD=b，CE=c，则CF=②；③；④．7、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，其中正确比例式的个数有（

7、）AD=a，BC=b，E、F分别是AD、A、4个B、3个C、2个D、1个BC的中点，且AF交BE于P，CE14、如图，BD、CE是△ABC的中交DF于Q，则PQ的长为8、如图，工地上竖立着两根电线杆线，P、Q是BD、CE的中点，则等于AB、CD，它们相距15m，分（）别自两杆上高出地面4m、6m的A、C处，向两侧地面上的A、B、C、D、E、D；B、F点处，用钢丝绳15、如图，在平行四边形ABCD拉紧，以固定电线杆，那么中，O1、O2、O3分别是对角线BD钢