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1、实用标准文档第一章误差1.试举例,说明什么是模型误差,什么是方法误差.解:例如,把地球近似看为一个标准球体,利用公式计算其表面积,这个近似看为球体的过程产生的误差即为模型误差.在计算过程中,要用到,我们利用无穷乘积公式计算的值:其中我们取前9项的乘积作为的近似值,得这个去掉的无穷乘积公式中第9项后的部分产生的误差就是方法误差,也成为截断误差.2.按照四舍五入的原则,将下列各数舍成五位有效数字:816.95676.00001517.322501.23565193.182130.01523623解:816.966.000017.32
2、31.235793.1820.0152363.下列各数是按照四舍五入原则得到的近似数,它们各有几位有效数字?81.8970.008136.320050.1800解:五位三位六位四位4.若1/4用0.25表示,问有多少位有效数字?解:两位5.若,是经过舍入后得到的近似值,问:各有几位有效数字?解:已知,又,,所以有三位有效数字;因为,所以有三位有效数字.文案大全实用标准文档6.设,是经过舍入后作为的近似值.求的计算值与真值的相对误差限及与真值的相对误差限.解:已知,;;.7.正方形的边长约为100cm,应该怎样测量,才能使其面积的
3、误差不超过1cm2.解:设正方形面积为S,边长为a,则S=a2.所以要使:,则要求.所以边长的误差不能超过cm.8.用观测恒星的方法求得某地维度为(读到秒),试问:计算将有多大误差?解:.9.真空中自由落体运动距离s与时间的关系由公式确定,g是重力加速度.现在假设g是准确的,而对t的测量有的误差,证明t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.证明:因为:与t成正比,与t成反比,所以当固定的时候,t增加时,距离的绝对误差增加而相对误差却减小.10.设,的相对误差为,求的绝对误差.解:已知,所以的绝对误差.文案大全实用标准文档1
4、1.设的相对误差为,求的相对误差.解:.12.计算球的体积,为了使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限如何?解:已知,设,则要使得,则.第二章函数的插值2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。解：（1）用牛顿方法。先作差商表：所以：（2）用Lagrange方法化简得：文案大全实用标准文档（3）用内维尔方法再由：得：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。解：先作差商表：所以，。故：其截断误差：由于，所以文案大全实用标准文档5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：7．证明。证
5、：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。解：先构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：文案大全实用标准文档满足上述条件的的多项式可以写成：其中A为待定系数，再由条件得：即：再构造次数不高于的多项式满足下列2n个条件：，令：它满足上述条件中除外的所有其他条件，于是再由所以，于是：文案大全实用标准文档于是所求的埃尔米特插值多项式为三样条插值和曲线拟合12．若是实轴上个由小到大排列的点，考虑一个上的函数，它在上是一个二次多项式，并且是已知值，又在内节点上连续，这样的称为二次样条插值。试证这样的二次样条插值有很多
6、，并问加上何种条件才能使它唯一，给出求的方程。解：由于在每个小区间上，有3个待定系数，于是在上共有个待定系数，。要满足的条件是：通过型值点：，共有个方程；的一阶导数连续，即共有个方程。这样总共有个方程，而待定系数有个，于是可以有很多。若要使它唯一确定，加上即可。事实上：考虑在上是一个二次多项式，可以写成：，若记文案大全实用标准文档为未知量，则：，再由得，故，再由得：再由为已知，从而由，可求得，且由递推关系知是唯一确定的。16．证明：贝齐尔曲线。证：因19．证明：。证：因为：，两边求导得：故：。四最佳逼近文案大全实用标准文档6．证
7、明的最佳一致逼近次多项式就是在上的某个次拉格朗日插值多项式。证明：（1）若，则的最佳一致逼近次多项式就是自身。这时在上任取个不同的点，就可以看作以这个点为插值节点的关于自身的拉格朗日插值多项式。（2）若，且是的最佳一致逼近次多项式，则由契比雪夫定理知，误差曲线在上有至少由个点组成的交错点组，从而由介值定理知在上至少有个零点，于是就是以这个零点为插值节点的次拉格朗日插值多项式。12．构造区间上的最小零偏差次代数多项式。解：已知在[的最小零偏差次代数多项式为，即它是次首一多项式，且在[-1，1]上的个点处轮流取得其最大值与最小值。对
8、于区间，作变换，则当时，，以代入得，其首项系数为，于是是在上的次首一多项式，且在个点处轮流取得其最大值与最小值文案大全实用标准文档，故上的最小零偏差次代数多项式为。15．假设是上的个互不相同的点，证明：对于任意向量，方程组有唯一解。证明：原方程组的矩阵形式为：为
