《谢奇之-工程力学》杆件基本变形横截面上的应力

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1、杆件基本变形横截面上的应力由第四章介绍可知，轴力、扭矩、剪力和弯矩分别是各种基本变形杆件横截面上分布力系的合成结果。而决定材料破坏和变形的是杆件横截面上某一点的内力，这种表示横截面一点内力强弱程度的量即为应力。本章将讨论三种基本变形的横截面上应力。应力定义为单位而积所承受的作用力。通过应力分析，可以更好的进行强度分析。对于材料科学来说，物体应力分析是一个重要过程。大至楼房、桥梁、公路，小到一根针尖的设计，都要清楚明白应力分布情况，这样才能做出合适的设计，否则桥梁可能因为承重不当而塌毁，针尖可能因为挤压过度而碎裂。现在我们來学习拉伸与压缩变形横截面上的应力，首先我们來看一个图，

2、在这两根杆上作用一対大小相等方向相反，在同一作用线上的力，随着力的增大，哪根杆先坏？由此可以得到结论：杆件的强度不仅与轴力有关，还与横截面面枳有关。必须用应力來比较和判断杆件的强度。在拉（压）杆的横截面上，与轴力FN对应的应力是正应力。根据连续性假设，横截面上到处都存在着内力。于是得静力关系：式中，A表示横截面面积。若知道CT在横截面上的分布规律，则可推导出应力计算公式。为了找出O■的分布规律，应从研究杆的变形入手。如图5—1所示，变形前垂直于杆轴线的直线“和刃，变形后仍为垂直于轴线的直线，只是分别平行移动了一段距离。据此，可提出如下假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持

3、为平面且仍垂直于轴线，只是各横截面间发生沿杆轴的相対平移，称为平面假设。由此，可推断拉杆所有纵向线段的伸长量相等。又因为各点的材料性质是一样的（均匀性假设），由此可以推想各点的受力是一样的,也就是各点的正应力b相等，即正应力均匀分布在横截面上，如图5-1（b）所示。于是由式（。）得圣维南原理：如果用外力系静力等效的合力来代替原力系，则除在原力系作用区域内有明显差别外，在离外力作用区域略远处（例如距离约等于横截面尺寸处），上述替代的影响就非常小，可以不计。杆的两端承受大小相等、方向相反，作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式成为扭

4、转。工程屮承受扭转的构件是很常见的，前面我们介绍了汽车转向轴，驾驶员操纵方向盘将力偶作用与转向轴上端，转向轴的下端则受到来自转向器的阻抗力偶的作用，使转向轴发生扭转。由于工程屮承受扭转的构件大多为圆截面直杆，故称之为轴，本节仅限讨论直圆轴的扭转应力。分析研究变形体静力学问题的主线，是研究力的平衡、变形的几何协调及力与变形间的物理关系。与杆的拉伸压缩相比较，差别主要在于圆周扭转时的变形有其特殊性。因此我们首先讨论圆周扭转时的变形几何关系，找出应变的变化规律；然后再利用物理关系，找出应力分布规律；最后，根据静力学平衡关系导出应力计算公式。为建立圆轴扭转时变形儿何关系，首先应通过试

5、验观察圆周扭转时的变形现象。在圆轴表面作圆周线与轴向线如图所示。然后在轴两端施加扭矩后，圆轴发生扭转，如图所示。由此可以观察到：圆周线长度形状不变，各圆周线间距离不变，只是绕轴线转了一个微小角度;纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只是倾斜了一个微小角度。根据所观察到的圆轴表而变形现象，可以设想圆轴由一系列刚性横截面组成，在扭转过程屮，相邻两刚性横截面只发生相对转动。于是可作出如下假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。依据上述平面假设，注意到横截面间的保持不变即轴向线的长度未发生改变，于是可知扭转

6、时圆轴横截面上只有垂直于半径方向的切应力，而无正应力。在图屮，0表示圆轴两端横截面的相对转角，称为扭转角。为了研究圆轴扭转时切应变的变化和分布规律，从圆轴上取出长为力的微段，两横截而相对转角为放大后如图所示。考虑横截而上任意一点a,在扭矩作用下，变形后半径Og转过角度d泄90/位置，错动的距离是aa=pd(p-因而引起原为直角的Zddc的角度改变量为。式中，「发生在垂直于半径的平而内。我们给它一个名称-一切应变。对于横截面上的任意一点，它的切应变随点的位置的变化规律为：。这就是横截面上任一点的剪应变，它发生在垂直于半径的平而内。由平面假设还可知，圆轴的横截面变形后仍保持平面，

7、不仅形状和大小不变，半径也仍然保持直线。所以式中，些是扭转角沿x轴的变化率。对于给定截面上的各点来说，它dx是常量。故上式表明，横截面上任意点的剪应变与该点到圆心距离p成正比。材料的切应力和切应变的关系同样可以由实验获得。对于线性弹性材料，剪切胡克定律r=Gy成立，G为剪切弹性模量，与弹性模量E—样，G也是材料常数。在线弹性物理关系下，切应力与切应变成正比，故横截面上任一距截面中心o为p出的切应力由上面两个式子可以确定，横截面上各点的剪应力与该点到截面屮心的距离成正比,其方向垂直于半径。即剪应力沿截面的