《谢奇之-工程力学》变形与刚度计算

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1、变形与刚度计算除强度问题外，材料力学研究的另i个重要问题就是刚度问题。刚度是指材料在受力时抵抗弹性变形的能力。是材料弹性变形难易程度的一个象征。强度问题収决于应力，而刚度问题取决于应变或变形。在弹性范围内，刚度是零件荷载与位移成正比的比例系数，即引起单位位移所需的力。它的倒数称为柔度，即单位力引起的位移。刚度可分为静刚度和动刚度。静载荷下抵抗变形的能力称为静刚度。动载荷下抵抗变形的能力称为动刚度，即引起单位振幅所需的动态力。构件变形常影响构件的工作，例如齿轮轴的过度变形会影响齿轮啮合状况,机床变形过大会降低加工精度等。本章主要讲述三种基本变形的变形计算。一直杆在轴向载荷作用

2、下，将引起轴向尺寸的伸长或缩短,通常称为纵向变形。此外横向尺寸也会缩小或增大，称为横向变形。如图10—1所示，设等宜杆变形前的长度为横向尺寸为儿在轴向力F作用下发生轴向拉伸。变形后，长度变为厶，横向尺寸变为勺。杆件纵向伸长量为M=lx-l,则纵向线应变为。此外，杆件横截面上的正应力为（7=上—在应力小于比例极限的条件下，应力和应变成正比，满足胡克定律。即（T=Ee.将（b）和（c）两式代入（〃）式,FI^A/=—o这表明：当应力不超过比例极限，在线弹性范围内时，杆件的伸长量△/与拉EA丿JF和杆件的原长度/成止比，与横截面面积A成反比。以上结果同样可以用于轴向压缩的情况，只

3、要把轴向拉力改为压力，把伸长量△/改为压缩量。从式可以看出，对于长度相同、受力相等的杆件，EA越大则变形&越小，所以E4称为杆件的抗拉（或抗压）刚度。同样，横向线应变为wJH,试验表明：当应力不超过比例极限吋，横向bb应变$与纵向应变£之比的绝对值是一个常数，即片卜“。“称为泊松比，是一个量纲为1的量。因为当杆件轴向伸长时横向缩小，而轴向缩短时横向增大，所以/和£的符号总是相反的。这样，彳和£的关系可以改写成£‘=-陆o和弹性模量E—样，泊松比〃也是材料固冇的弹性常数。与应力计算一样，若为多力杆或阶梯型杆，如图10—2所示，则应分段计算再求和，计算时轴力应代代数值。当轴力与

4、横截面尺寸沿轴线连续变化时，可川下式计算杆件的总变形△/=J休心）厶,式中心⑶和人（兀）分别表示兀处的轴力和横截血面积。轴类零件除应满足扭转强度要求外，一般还不应冇过大的扭转变形。例如，若车床丝杆扭转角过大，会影响车刀的进给，降低加工精度；发动机中控制气阀开闭的凸轮轴若扭转角过大，会影响气阀开关时间；锂床的主轴或磨床的传动轴如扭转角过大，将川起扭转振动,影响工件的精度和光洁度。所以要限制某些轴的扭转变形，这就是刚度要求。扭转变形是指两个横截面间绕轴线的相対转角，即扭转角。由公式（5—4）得d（p=^—dx,表示相GIP距为心的两个横截面之间的和对转角。沿轴线X积分，即可求得

5、距离为/的两个横截血之间的相对转介为0=「丄必。若两截面之间扭矩不变，且轴是等直轴，则0=2-。上JoGIPGIP式表明，G/p越人，扭转角°越小，故G/p称为圆轴的抗扭刚度。若轴在各段内的扭矩卩不相同，或各段内的极惯性矩厶不同，例如阶梯轴。这时应分段计算各段的扭转角，然后按代数值相加，得两端截而的相对扭转角为cp=乞生。/=iGIpi式(1()—5)表示的扭转角与轴的长度/有关，为消除长度的影响，用0对兀的变化率寒dx来表示扭转变形的程度。今后用0表示扭转角沿轴线的变化率，由式(d)得0==丄。0也表示相距为1单位长度的两截而的相对转角，称为单位长度扭转角，dxGIP单位

6、为rad/m.扭转的刚度条件就是耍求单位长度扭转角0不得超过规定的允许值［0］,即0：涿=益50］。工程小，习惯把％作为［0］的单位。若0］的单位为仆,需把GIp上式屮的弧度换算成度，得0爲=5^•—＜［^］o各种轴类零件的0］值可从有关规GIp71范和手册屮杏到。工程中对某些受弯构件除强度要求外，往往还有刚度要求，即要求变形不能过人。例如，行走人梁若在起M重物时弯曲变形过人，就会引起振动，影响行车运行的稳定性。机床主轴如弯曲变形超过一定程度，不但会降低机床的加工精度，还会使轴颈和轴承产生不均匀磨损。化工管道如发生过人的弯曲变形，会造成管道内物料积淀而影响正常输送。桥梁和建

7、筑物人梁的弯曲变形不能过人则是显而易见的。工程屮虽然经常要限制弯曲变形，但在另一些情况下，常常又利用弯曲变形达到某种要求。例如支承车辆的亞板弹簧应有较人的变形，才能更好地起缓冲减振作用。扭力扳手的扭杆要有明显的弯曲变形，才可以使测得的力矩更为精确。弯曲变形计算除用于解决弯曲刚度问题外，还用于超静定系统和振动问题的计算。因此必须研究弯曲变形。工程中常用截而的挠度和转角来描绘梁的弯曲变形。如图1()—6所示，变形前轴线为肓线的梁AB,变形示轴线变为一条在其纵向对称而内的一条曲线AB称为挠曲线。变形示任一截面C的形心在