概率论与数理统计第3章多维随机变量及其分布

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1、第3章多维随机变量及其分布3.1多维随机变量及联合分布3.2二维随机变量的边缘分布3.3条件分布3.4随机变量的相互独立性3.5二维随机变量函数的分布第3章多维随机变量及其分布在实际问题的研究中，只用一个随机变量往往是不够的．例如，要研究儿童的生长发育情况，常用身高和体重两个随机变量来描述；研究某地区的气候状况需要考虑温度、湿度等多个随机变量；研究国民经济状况，就需要用GDP、固定资产投资、各产业产值、人均消费额等很多随机变量来描述．本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、理论和应用．【保险中的理赔总量模型】保险公司在一个会计年度保险单的理赔次数、每次的理赔额和全年理赔

2、总量均为随机变量．某保险公司为了研究某类保险在一个会计年度的理赔总量，用Xi表示某类保险单的第i次理赔额，N表示在一个会计年度所有这类保单发生理赔次数，Y表示这一年中对这类保单的理赔总量．建立如下理赔总量模型：【保险中的理赔总量模型】现有一组保单，假设在一年内可能发生的理赔次数为0，1，2和3，相应的概率为0.1，0.3，0.4和0.2．每张保单可能产生的理赔额为1，2，3（万元），相应的概率为0.5，0.4，0.1，试分析理赔总量Y的概率分布，并求理赔总量超过6万元的概率．第3章多维随机变量及其分布3.1多维随机变量及联合分布3.1.1多维随机变量的概念定义3.1如果

3、X1()，X2()，…，Xn()是定义在同一个样本空间={}上的n个随机变量，则称X()(X(),X(),,X())12n为n维随机变量或n维随机向量，简记为X=(X1，X2，…，Xn)．注意，多维随机变量的关键是定义在同一样本空间上，对于不同样本空间上的两个随机变量，本章将不涉及这类问题．3.1.1多维随机变量的概念【例3.1】在研究每个家庭的支出情况时，我们感兴趣于每个家庭（样本点）的衣食住行四个方面，若用X1()，X2()，X3()，X4()分别表示衣食住行的花费，则(X1，X2，X3，X4)就是一个四维随机变量．逐个地来研究每个随

4、机变量的性质是不够的，还需要将(X1，X2，…，Xn)作为一个整体来进行研究．本章中主要研究二维随机变量，二维以上的情况可类似地进行.3.1.2二维随机变量及联合分布函数定义3.2设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y，事件{Xx}，{Yy}同时发生的概率F(x,y)P{Xx,Yy}称为二维随机变量(X，Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数．如果将二维随机变量(X，Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x，y)在(x，y)处的函数值就是随机点(X，Y)落在以点(x，y)为右上角的无穷矩形内的概率.3.1.2二维随机变量及联合分布函数容易证明分

5、布函数F(x，y)具有以下的性质:(1)单调性：F(x，y)分别对x或y是单调不减的，即当x1x2时，有F(x,y)F(x,y)12yy(,)(,)当12时，有Fxy1Fxy2．(2)有界性：对任意的x和y，有0F(x,y)1，且F(,y)limF(x,y)0xF(x,)limF(x,y)0yF(,)limF(x,y)1xy3.1.2二维随机变量及联合分布函数(3)右连续性：对每个变量是右连续的，即limF(x,y)F(x,y)对任意的x0，有0；xx0对任意的y0，有limF(x,y)F(x,y

6、0)．yy0(4)非负性：对任意的a

7、，Y)的分布律．Yyy…y…12jXxpp…p…111121jxpp…p…221222j………………xpp…p…ii1i2ij………………3.1.3二维离散型随机变量及联合分布律联合分布律有如下性质：p0,i,j1,2,(1)非负性：ij(2)归一性：pij1i1j1求二维离散型随机变量(X，Y)的分布律，关键是写出(X，Y)所有可能取到的数对及其发生的概率．3.1.3二维离散型随机变量及联合分布律【例3.3】甲乙两人独立进行射击，甲每次命中率为0.2，乙每次命中率为0.5．以X、Y分别表示甲、乙各射击两次的命中次数，