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1、斐波那契是13世纪欧洲著名的数学家，他是意大利人。1202年出版的他的著作《算盘书》向欧洲人介绍了东方数学。这部书1228年修订本中引入了一个“兔子问题”。该题要求计算由一对兔子开始，一年后能繁殖多少对兔子。题中假定，一对兔子每一个月可以生一对小兔，而小兔出生的第二个月就能生新的小兔，这样开始时是一对，一月后成为2对，两月后3对，三个月后5对，……每个月的兔子对数排成一个数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……3.1.1方程的根与函数的零点思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(
2、a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？问题1观察下表(一)，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系。没有交点(1,0)x2-2x+3=0x2-2x+1=0(-1,0),(3,0)x2-2x-3=01.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。结论:无实数根x1=x2=1x1=-1,x2=3y=x2-2x+3y=x2-2x+1y=x2-2x-3图象与x轴的交点函数的图象一元二次方程方程的根二次函数2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。方程ax2+bx+c
3、=0(a≠0)的根函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象判别式△=b2－4ac△＞0△=0△＜0函数的图象与x轴的交点有两个相等的实数根x1=x2没有实数根xyx1x20xy0x1xy0(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点两个不相等的实数根x1、x21.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。结论问题2若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是
4、否仍然成立？(观察表二)对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点的定义：等价关系观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:[－2,1]；f(－2)>0f(1)<0f(－2)·f(1)<0；（－2,1）有零点；x2－2x－3＝0有一个根x＝－1[2,4]；f(2)<0f(4)>0f(2)·f(4)<0；（2,4）有零点；x2－2x－3＝0有一个根x＝3.....xy0－132112－1－2－3－4－
5、24观察对数函数f(x)=lgx的图象:[0.5,1.5]；f(0.5)<0f(1.5)>0f(0.5)·f(1.5)<0；（0.5,1.5)有零点；lgx=0有一个根x＝1xy0121...探究如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定区间内存在零点。xy0ab..yx0ab..xy0ab..由表3-1和
6、图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219231(1
7、)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,作出函数f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。1(1)－x2＋3x＋5＝01.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：练习：1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为2x2－4x＋3＝0，令f(x)=2x2－4x＋3,作出函数f(x)的图象,如下：xy0－132112543.....它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。1(2)2x(x－2)＝－32(1)解：作出函数的图象，如
8、下：因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,所以f(x)=－x3－3x+5在区间(1,1.5)上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有且只有一个零点。xy0－1321125432(1)f(x)=－x3－3x+5.....2.利用函数的图象，指出下列函
