概率与数理统计 4.3 协方差和相关系数

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1、主讲宗序平《概率论与数理统计》§4.3协方差和相关系数问题对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系问题:用一个怎样的数去反映这种联系.一.协方差定义与性质若X,Y独立,则根据数学期望的性质，有E(XY)=EXEY为X,Y的协方差.记为称定义E{(X-EX)(Y-EY)}=E(XY)-EXEY=0X，Y独立E{(X-EX)(Y-EY)}=0数反映了随机变量X,Y之间的某种关系Cov(X,Y)=E(XY)-EX•EY.证明若(X,Y)为离散型，若(X,Y)为连续型，注(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)

2、Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0;(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数；(4)Cov(X+Y，Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);协方差性质(5)性质1解例１:设随机变量XB(12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差定义:当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？性质2“X与Y独立”“X与Y不相关”,反之未必成立.例２设(X,Y)在D={(X,Y)：x2+y21}上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。性质3X

3、与Y为随机变量,则下列结果等价(1)X,Y不相关;(2)Cov(X,Y)=0;(3)E(XY)=EXEY;(4)D(X+Y)=DX+DY.二.相关系数1.定义若随机变量X，Y的方差和协方差均存在,且DX>0,DY>0，则注1：若记称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且称为X与Y的相关系数.无量纲的量注2X,Y不相关X,Y相互独立X,Y不相关例3设(X,Y)~N(1,12;2,22;),求XY解若(X,Y)~N(1,12,2,22,),则X,Y相互独立X,Y不相关例4设~U(0,2),X=cos,Y=cos(+),是给定的常数，求XY解若若有线性关

4、系若不相关，但不独立，没有线性关系，但有函数关系引理E(Y2)>0时，当且仅当证令时,等式成立—Cauchy-Schwarz不等式.对任何实数t,当E(X2)>0,等号成立有两个相等的实零点即即等号成立即Y与X有线性关系的概率等于1.2.相关系数的性质定理在以上假设条件下，有(1)

5、XY

6、1；(2)

7、XY

8、=1存在常数a,b使P{Y=aX+b}=1；(3)X与Y不相关XY=0;1.设(X,Y)服从区域D:0

9、三.矩——X,Y的k+l阶混合原点矩——X,Y的k+l阶混合中心矩——X,Y的二阶原点矩—X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差——X,Y的相关系数四.协方差矩阵1.定义设X1，…,Xn为n个随机变量,记cij=Cov(Xi,Xj),i,j=1,2,…,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量X1，…,Xn的协方差矩阵C。即例6设(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求XZ解若X,Y是两个r.v.,用X的线性函数去逼近Y所产生的平均平方误差为当取平均平方误差最小.附录矩在线性回归中的应用附例设X,Y相互独立,且都服从N(0,2),U=aX+bY,V=aX-bY,a,b为常数，

10、且都不为零，求UV解由而故a,b取何值时,U与V不相关？此时,U与V是否独立？继续讨论但U~N(0,2a22),V~N(0,2a22),若a=b，UV=0,则U,V不相关.且U,V相互独立正态随机变量的结论则若(X,Y)则若相互独立则推广X,Y相互独立,六种常用随机变量的期望与方差小结