_数列极限的定义

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1、数列极限的定义Sx05“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽一、概念的引入怎样求圆的面积S？如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积,,.显然n越大,An越接近于S.因此,需要考虑当n时,An的变化趋势.二、数列的定义如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫

2、做数列,记为{xn},其中第n项xn叫做数列的一般项.数列举例:2,4,8,,2n,;1,-1,1,,(-1)n+1,.数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),nN.数列与函数数列的几何意义数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,,xn,.x1x5x4x3x2xn三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面图形的观察:“无限接近”的等价含义:想要xn与1有多接近,就能有多接近

3、.想要

4、xn1

5、<10,想要

6、xn1

7、<104,想要

8、xn1

9、<10k,想要

10、xn1

11、<,当n→∞,xn→a.当n→∞,

12、xn-a

13、→0.当n→∞,

14、xn-a

15、可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,

16、xn-a

17、<ε,（ε为事先给定的任意小的正数）.分析因此,如果n增大到一定程度以后,

18、xn-a

19、能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,则数列{xn}收敛a.怎样用数学语言描述？数列极限的定义设{xn}为一数列如果存在常数a对于任意给

20、定的正数e总存在正整数N使得当n>N时不等式

21、xna

22、

23、xna

24、.极限定义的简记形式——“–N”定义aa-ea+e()数列极限的几何意义0,NN当nN时有

25、xna

26、.存在NN当nN时点xn全都落在邻域(a-e,a+e)内:任意给定a的e邻域(a-e,a+e),例1：0,NN当nN时

27、有

28、xna

29、.证明：例2：0,NN当nN时有

30、xna

31、.证明：例3：设

32、q

33、<1,证明等比数列1,q,q2,,qn-1,的极限是0.对于0,要使

34、xn-0

35、=

36、qn-1-0

37、=

38、q

39、n-1log

40、q

41、e+1就可以了.0,NN当nN时有

42、xna

43、.证明：因为0,N=[log

44、q

45、e+1]N当nN时,有

46、qn-1-0

47、=

48、q

49、n-1

50、,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.