理论力学第十一章动能定理

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1、动力学理论力学第十一章动能定理§11-1力与力偶的功vP上抛物体:元功:总功:几种常见力的功：1.重力功自然坐标形式：Fx=Fy=0Fz=-P重力功等于质点的重量与其起始位置与终了位置的高度差的乘积，而与质点运动路径无关。对质点系:2.弹性力功A例11-1：固定圆环半经为R，小球套在圆环上，被长度为l的弹簧约束在O点。求：小球从A到B的功，又从B到C的功。解:从A到B的功:从B到C的功:0ABC45022.503、万有引力的功4．作用于转动刚体的力及力偶的功5、摩擦力的功静滑动摩擦力不做功动滑动摩擦

2、力的功：理想约束的约束反力不做功（1）光滑固定面反力的功（2）刚体内力的功AB由于刚体上任意两点之间的距离始终保持不变。因此故得§11-2动能1、质点动能单位:2、质点系的动能或由速度合成定理：柯尼希定理：质点系的动能等于随同其质心平动的动能与相对其质心运动的动能之和。例11-2：坦克履带轮，已知：履带重P，各轮重W,半径R,写出整个系统的动能。解:T带=T轮履质心+T轮履转动+T水平履带Rv2vw刚体动能计算1、平移刚体的动能：2、定轴转动刚体的动能：3、平面运动刚体的动能：根据转动惯量的平行移

3、轴定理[ρC：瞬心到质心的距离]例11-3：均质杆AB长l，质量为m，滑块B的质量为m，圆柱A的质量为M，半径为R。在运动过程中θ=θ（t），试写出在θ=450瞬时的系统动能。解：§11-3质点系动能定理第个质点分别乘以叠加质点系动能的微分等于作用于质点系的力的元功之和。两边积分动能定理质点系动能的改变等于作用于质点系的所有力所做功的总和。具有理想约束的刚体系统动能的变化，等于作用于系统上所有外力功之和。例11-4：材料剪切实验机，摆锤重P。求：锤从最高点下落到任意位置时杆的张力。解:质点方程:当:

4、=时,F=5Pl例11-5：电梯的鼓轮重W，半径r，轿厢重P。求：轿厢下落到任意高度时，钢索的张力。解:动能定理全反力=静反力+动反力x例11-6：纺织线轮如图，线锤半径为r，轮半径为R，廻转半径。求：线轮以角度被F力拉伸时质心的加速度。T1=0讨论：a<0,向后a=0,F过瞬心解:功:T2–T1=Wa>0,向前微分形式:0Sa例11-7：卷扬机在不变力矩M的作用下，从静止开始运动。已知鼓轮半径为R1，重量为Q1，质量分布在轮缘上，圆柱半径为R2，重量为Q2，质量均匀分布，斜面倾角为q，圆

5、柱只滚不滑。求圆柱中心C经过路程l时的速度。解：受力分析不作功F作功为零应用动能定理其中于是解得例11-8：均质杆OA＝l，重P，圆盘重Q，半径r，可绕A轴自由旋转，初始时，杆垂直，系统静止，设OA杆无初速度释放。求：杆转至水平位置时，杆的角速度、角加速度。解：受力分析运动分析：OA杆定轴转动，圆盘平动。应用动能定理:（1）（1）式两边对时间求导例11-9：已知：mA=m，mB=m/2，mC=m/3，鼓轮的廻转半径为，质量为m，鼓轮小半径为r，大半径为R，C轮的半径为r，物体A接触的摩擦系数为fs

6、，求物体A下落时的速度。解:功:动能:a=300AvAPM0CBvBvC例11-10:重P，长l的匀质杆，端部悬着重G的物体，在l/3处系着k系数的弹簧。求：摆动时的振动方程解:平衡条件:动量矩方程:不考虑重力与弹簧静伸长作功,动能方程:方程解:L/3sk(s+)l/3没有平衡关系有平衡关系重力与弹簧静伸长有平衡关系，则在功或势能式中可以不考虑。L/3例11-11：电梯轿厢重为P，钢索的刚性系数为k。当轿厢以速度v匀速下降时钢索突然卡住，求钢索的最大张力。讨论：当：k=3.35kN/mm，取

7、平衡位置为零势位，重力和弹簧的静伸长抵消：v=0.5m/s,P=2.5kN,解：增加：5.8倍PdmaxdSt平衡位置自然位置§11-4势力场与势能一、势力场与有势力力场：质点所受力矢量是位置的单值、有界且可微的函数，则这部分空间称为力场有势力场：场力所作的功只决定于质点的起始与终了位置，则该力场称为有势力场。二、势能V(x、y、z)作用在位于势力场中某一给定位置M(x、y、z)的质点的有势力，相对于任一选定的零位置M0(x0、y0、z0)的作功能力。有势力的元功等于势能函数的全微分，并冠以负号。常

8、见势力场中的势能1.重力场势能:2.弹性力场势能:或3.万有引力场例11-13：BC杆重，长为l，重物D重，弹簧的刚度为k，当角θ=00时，弹簧具有原长3l。求质点系运动到图示位置时的总势能。BC杆：（以杆BC的水平位置为零势能位）（选弹簧的原长处为势能的零位置）§11-5机械能守恒定律或：质点系在势力场中运动时，动能与势能之和为常量。例11-14：重为P半径为r的圆盘在半径为R的圆槽内摆动。求：摆动的方程。解：二边求导：摆动的周期：R平衡位置例11-15：已知约