多元函数积分学 (2)

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1、第六章多元函数积分学一、重积分问题6.1二重积分化为二次积分时，怎样画域、定限？问题6.2怎样通过二重积分来交换二次积分的顺序？要注意些什么问题？问题6.3怎样正确利用积分域和被积函数的对称性来简化二重积分的计算？问题6.4当二重积分的被积函数含有绝对值符号时，如何计算它的值？问题6.5计算三重积分的所谓“先重后单”或“先二后一”法是怎么回事？在什么情况下用这种方法好？问题6.6在球面坐标系下化三重积分为三次积分时，怎样确定三次积分中各积分的上、下限？问题6.7三重积分在柱面坐标系和球面坐标系下的计算与二重积分在极坐标系下的计算有什么关系？问题6.8计算三重积分，是

2、由及、围成，可不可以用在高为2的大圆锥内的积分，减去高为1的小圆锥内的积分来进行计算？当被积函数为抽象函数时，那末积分可不可以用同样的方法计算？问题6.9化实际问题为重积分问题的“微元法”（或“元素法”）与定积分应用中的“微元法”的异同点是什么？问题6.10用重积分解应用问题时，如何适当选择坐标系？问题6.11在什么情况下，属于要用重积分来解的问题，可以直接用定积分来解？问题6.12定积分有换元积分法，二重积分与三重积分有没有换元积分法？二、曲线积分与曲面积分问题6.13有人在计算积分“，其中为图6.18中与之间的一段劣弧”时，这样作：因为：，：，所以沿这两段弧均有

3、，故有这个解法是否正确？化曲线积分为定积分的关键是什么？问题6.14计算，其中为沿从原点到的一段弧。下面的解法，问题出在哪里？其中问题6.15设有二阶连续偏导数，为光滑的简单闭曲线的外法向量。为围成的区域，则有人在证明时这样作：如图6.19，是上任一点，这点处的切向量为，外法向量为，它们与轴的夹角分别为和，则，于是：与欲证的结果差一符号，问错在哪里？问题6.16设为椭圆，为圆周问下列积分的求法是否有误？其中最后一步用的是格林公式。问题6.17计算对坐标的空间曲线积分，主要有哪几种方法？问题6.18计算对弧长的曲线积分：（1）；（2）其中为用什么方法为好？问题6.19

4、曲线积分常通过格林公式化为二重积分来计算，有没有二重积分化为曲线积分来计算更为方便的例子？问题6.20设为平面在柱面内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？（1）（2）问题6.21计算积分，为球面：的外侧。下面作法是否正确：问题6.22设是半球面的外侧。有人说：“由对称性知，故同样也有”这样说对不对？问题6.23设、、，为连续函数，为长方体：，，表面的外侧。在计算下面的曲面积分时，用高斯公式得这样作对不对？问题6.24计算积分，其中，（）为介于与两平行平面之间的圆柱面。有人说，Σ在平面上的投影是圆周，面积为零，因此这积分的值也等于零。这一说法对不对？问题6.2

5、5定积分作为特殊的曲线积分，属于哪一类曲线积分？二重积分作为特殊的曲面积分，属于哪一类曲面积分？问题6.26为什么说，在多元函数积分学中，最重要、最基本的是二重积分？问题6.27在可以化为曲线（曲面）积分的实际问题中，怎样的问题属于第一类曲线（曲面）积分？怎样的问题属于第二类曲线（曲面）积分？问题6.28牛顿-菜布尼兹公式、格林公式和高斯公式之间有什么联系？问题6.29斯托克斯公式：的成立与以为边界曲线的曲面的选择是否有关？为什么？