男生追女生建模

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1、呵呵，闲暇时，躺在床上，突然发挥下我硕士时专业的优势，用微分方程来研究下当前大学生的恋爱问题。 问题分析      男生追女生，对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数Y(t)。      首先，我们不考虑男生的追求攻势，则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析，我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度，于是引入疏远度函数X(t)。      问题就转化为求解Y(t)和X(t)的相互作用关系。利用微分，很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势，

2、因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关，可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中，就可以找出攻势与Y(t)和X(t)的关系了。      模型假设      1、t时刻A君的学业成绩为Y(t)；      2、t时刻B女对A君的疏远度为X(t)；      3、当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长（平时发现的A君的不良行为）符合Malthus模型，即dX/dt=aX(t)其中a为正常数。      4、当Y(t)存在时，单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值成正比，比例

3、常数为b，从而dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。      5、A君发起对B女追求后，立即转化为B女对A君的好感，并设定转化系数为α，而随着的A君发起对B女的追求，A君学业的自然下降率与学业成绩成正比，比例系数为e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。      模型的建立    由假设4和假设5，就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型：      {dX(t)/dt=aX-bXY；dY(t)/dt=cXY-eY}其中c=αb.(1)      这是一个非线性自治系统

4、，为了求两个数X与Y的变化规律，我们对它作定性分析。令{aX-bXY=0；cXY-eY=0}解得系统(1)的两个平衡位置为：O(0,0)，M(e/c,a/b)。从(1)的两方程中消去dt，分离变量可求得首次积分：      F(X,Y)=cX-dln

5、X

6、-aln

7、Y

8、=k(2)      容易求出函数F(X,Y)有唯一驻点为M(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点。同时易见，当X→∞（B女对A君恨之入骨）或Y→∞（A君是一块只会学习的木头）时均有F→∞；而X→0（A君作了变形手术，B女对

9、他毫无防备）或Y→0（A君不学无术，丝毫不学习）时也有F→∞。由此不难看出，在第一象限内部连续的函数z=F(X,Y)的图形是以M为最小值点，且在第一卦限向上无限延伸的曲面，因而它与z=k(k＞0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k(k＞0)是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。      结果解释      从生态意义上看这是容易理解的，当A君的学习成绩Y(t)下降时，B女会疏远A君，疏远度X(t)上升；于是A君就又开始奋发图强，学习成绩Y(t)又上升了。于是B女就又和A君开始了来往，疏

10、远度X(t)又下降了。与B女交往多了，当然分散了学习时间，A君的学习成绩Y(t)下降了。      然而我们可证明，尽管闭轨线不同，但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数，而且恰为平衡点M的两个坐标。事实上，由(1)的第二个方程可得：dY/Ydt=cX-e,两端在一个周期时间T内积分，得：      ∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT(3)      注意到当t经过一个周期T时，点(X,Y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点，从而：∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以，由(3)式可得：(∫Xdt)/T=e/

11、c。      同理，由(1)的第一个方程可得：(∫Ydt)/T=a/b。      模型优化      考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数为h，h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下，上述学业与疏远度的模型应变为：      {dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY；dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y}(4)      将(4)式与(1)式比较，可见两者形式完全相同，前者仅是把(1)中X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。因此，对(4)式有    

12、  x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c，y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b(5)      利用(5)式我们可见：攻势作用力h的增大使X’增加，Y’减少。      我的建议      考试期间，由于功课繁忙，使得追求攻势减少，即h减小，与平时相比，将有利于学业成绩Y的增长。这就是Volterra原理。此原理