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《概率论与数理统计教案lessonplan12：6.2点估计的评价标准》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、§6・2点估计的评价标准一、教学目标：1、理解掌握点估计的三个评价标准；2、了解均方误弟。二、教学重点：点估让的三个评价标准。三、教学难点：点估计的三个评价标准。四、教学准备：课件五、教学过程：我们已经看到，点佔计有各种不同的求法，为了在不同的点估计间进行比较选择，就必须对各种点佔计的好坏给出评价标准。数理统计中给出了众多的估计量评价标准，对同一佔计量使用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此，在评价某一个估计好坏时，首先要说明是在哪一个标准下，否则所论好坏则毫无意义。但不管怎么说，有一个基本标准是所有的估计都应该满足的
2、，它是衡量估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性。（-）相合性1、定义/A定义6.2.1设为未知参数，0,=&“3，无2,…，兀J是&的一个估计最，〃是样本容罐，若对任一£>0有limP（a_^>£）=0"T8即玄二玄3,兀2,…，占）依概率收敛于&，则称玄二玄（州,兀2,…,兀“）为&的相合估计。相合性被认为是对估计的一个最基本要求，如果一个估计量在样本量不断增人时，它都不能把被估参数佔计到任意指定的精度，那么这个佔计是很值得怀疑的，通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。注证明估计的相合性一般口J应用大数定律或直接
3、用定义來证，冇时借助于依概率收敛的性质。2、相合性的判别定理AA,定理621设仇二仇（西，兀2,…九）是&的一个估计量,若limE3n=0AmVardn=0打一>g”T8则a=a（%［，兀2,）是&的相合估计。证明由切比雪夫不等式知：V£>0有AE（0_&）2'“2EE（a_0）2=Egi_2血+护=Var0+（E©）2_20E6h+02・・・limE（a-0）2=lim［畑玄+（的）2-26E&+严］=0+伊一2血&+沪=0〃T8//—>oo八E（e-0）2所以0WlimP（en-0>e）oo所
4、以limP（0n-0>^）=0oHT8例622设坷是均匀分布X〜（/（0,&）的样本，证明：&的最大似然估计6=Xg是&的相合估计。分析直接验证定理6.2.1的条件。定理6.2.2若玄］,玄2,…，无分别是G，…，2的相合估计，〃二g©,…，2）是&"・・,$的连续函数，则九严g@m…代k）是〃=g（G，…同）的相合佔计，例6.2.3设一个试验有三种nJ"能结果，其发生概率分别为°=&二02=2班1—0）,/?3=（1-&）2,现做了并次实验，观测到三种结果发生的次数分别是®，勺“乙，n+n2+n3-〃证明:q二均是&的和合
5、估计。分析直接验证定理6.2.2的条件。（-）无偏性定义6.2.20=$（州，兀2,…，兀）是&的一个估计，0w€），若对V&e0,有E0=0,则称0=$3，毛,…忑）是&的无偏估计，否则称为有偏估计。注相合性是人样本所具有的性质，而无偏性对一切样本均可以用。无偏性可以改写成E@-e）=o,这表明无偏估计没冇系统偏差，当我们使用0=0（州,£,）佔计&时，由于样木的随机性，0=0{x{,X?,£）与〃总是有偏差的，这种偏差时阳正，时而负，时而大，时而小，无偏性表示，把这些偏差平均起来其值为零，这就是无偏性的含义。例6.2.4对
6、任一总体而言，当总体的k阶矩乩存在时，样本的k阶原点矩务是总体的k1n阶矩“A的无偏估计。当总体的2阶矩存在时，样木方差丄工（兀•-壬尸是总体方”-1気]n差V“X的无偏估计，但S*2=-Y（Xi-x）2不是总体方差U"X的无偏估计。n；=i注无偏性不具有不变性，即若4=4（州，兀2,…，兀”）是&的一个无偏估计，一般而言g@）不是g⑹的无偏估计,除非g@）是e的线性函数。1n例6.2.5设正态总体X〜N（/Z,，），o,兀2,…，百为其样本,S2=——y（x,-x）2〜斤一1备是”2的无偏估计，证明：s=VF不是＜7的无偏估
7、计。注（1）无偏估计对以不存在；（2）无偏估计可以不唯一；（3）无偏估计未必是一个好的估计。（三）有效性参数的无偏估计可以有很多，如何在无偏估计小进行选择？直观的想法是希望该估计围绕在参数真值的波动越小越好，波动大小可用方差来衡量，因此人们常用无偏估计的方差的大小作为度量无偏估计优劣的标准，这就是有效性。定义623设&，玄是&的两个无偏估计，如果对任意的&WG）,有如&）5畑（玄）且至少有一个&丘O使得上述不等式严格成立，则称&比玄有效。例6.2.6设坷宀,…占为取自某总体的样本，记总体均值为〃，总体方差为"2,则Alfi2=
8、X都是“的无偏估计,且几比“2有效。例6.2.7设州宀,…忑为取tlX〜〃（0,&）总体的样本，对&的两个无偏估计八八,2+]入'q=2乙&=——兀（“），证明：G比仇有效。n（四）均方误差无偏估计是估计的一个优良性质，对无偏估计我们述可以通过其方差进行有效性的比较，然而不能
