抛物线与圆的综合

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1、实用标准文档拔高专题抛物线与圆的综合一、基本模型构建常见模型思考圆与抛物线以及与坐标系相交，根据抛物线的解析式可求交点坐标，根据交点可求三角形的边长，由于圆的位置不同，三角形的形状也不同。再根据三角形的形状，再解决其它问题。二、拔高精讲精练探究点一：抛物线、圆和直线相切的问题例1:（2015•崇左）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．（1）则点A，B，C的坐标分别是A（2，0），B（8，0），C（0，4）；（2）设经过A，B两点的抛物线解析式为y=（x-5）2+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙

2、M相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（1）解：连接MC、MA，如图1所示：∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD==3，∴BD=3，∴OA=5-3=2，OB=5+3=8，∴A（2，0），B（8，0）；（2）证明：把点A（2，0）代入抛物线y=（x-5）2+k，得：k=-，∴E（5，-），文案大全实用标准文档∴DE=，∴ME=MD+DE

3、=4+=，EA2=32+（）2=，∵MA2+EA2=52+=，ME2=，∴MA2+EA2=ME2，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；（3）解：存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）；理由如下：由勾股定理得：BC===4，分三种情况：①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）；②当BP=BC=4时，如图2所示：∵PD===，∴P（5，）；③当PC=BC=4时，连接MC，如图3所示：则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，∴PD=4+，∴P（5，4+）；综上所述：存在点P，且点P在x轴的上

4、方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，4+）．【变式训练】（2015•柳州）如图，已知抛物线y=-（x2-7x+6）的顶点坐标为M，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），并指出顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找点R，使得CR+AR的值最小，并求出其最小值和点R的坐标；（3）以AB为直径作⊙N交抛物线于点P（点P在对称轴的左侧），求证：直线MP是⊙N的切线．文案大全实用标准文档（1）解：∵y=-（x2-7x+6）=-（x

5、2-7x）-3=-（x-）2+，∴抛物线的解析式化为顶点式为：y=-（x-）2+，顶点M的坐标是（，）；（2）解：∵y=-（x2-7x+6），∴当y=0时，-（x2-7x+6）=0，解得x=1或6，∴A（1，0），B（6，0），∵x=0时，y=-3，∴C（0，-3）．连接BC，则BC与对称轴x=的交点为R，连接AR，则CR+AR=CR+BR=BC，根据两点之间线段最短可知此时CR+AR的值最小，最小值为BC==3．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（6，0），C（0，-3），∴，解得，∴直线BC的解析式为：y=x-3，令x=，得y=×-3=-，∴R点坐

6、标为（，-）；（3）证明：设点P坐标为（x，-x2+x-3）．∵A（1，0），B（6，0），∴N（，0），∴以AB为直径的⊙N的半径为AB=，∴NP=，即（x-）2+（-x2+x-3）2=（）2，化简整理得，x4-14x3+65x2-112x+60=0，（x-1）（x-2）（x-5）（x-6）=0，解得x1=1（与A重合，舍去），x2=2，x3=5（在对称轴的右侧，舍去），x4=6（与B重合，舍去），∴点P坐标为（2，2）．∵M（，），N（，0），∴PM2=（2-）2+（2-）2=，PN2=（2-）2+22==，MN2=（）2=，∴PM2+PN2=MN2，

7、∴∠MPN=90°，∵点P在⊙N上，∴直线MP是⊙N的切线．文案大全实用标准文档【教师总结】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、垂径定理、二次函数解析式的求法、勾股定理、勾股定理的逆定理、切线的判定、等腰三角形的性质等知识；综合性强．探究点二：抛物线、圆和三角形的最值问题例2:（2015•茂名）如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（-2，0），D（-8，0）两点，与y轴相切于点B（0，4）．（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△B

8、DF面积最大，最大值是多少？并求出点F的坐标。解：（1）设抛物线的