椭圆的简单几何性质教（学）案

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1、...椭圆的简单几何性质思考1：如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？1.范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式≤1,≤1即x2≤a2,y2≤b2所以

2、x

3、≤a，

4、y

5、≤b即－a≤x≤a,－b≤y≤b这说明椭圆位于直线x＝±a,y＝±b所围成的矩形里。2.对称性点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为(x,－y)；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为(－x,y)；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为(－x,－y)；（1）在曲线的方程里，如果以－y代y方程不变

6、，那么当点P(x,y)在曲线上时，它关于x的轴对称点P’(x,－y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称。（2）如果以－x代x方程方程不变，那么说明曲线的对称性怎样呢？[曲线关于y轴对称。]（3）如果同时以－x代x、以－y代y，方程不变，这时曲线又关于什么对称呢？[曲线关于原点对称。]椭圆关于x轴，y轴和原点都是对称的。这时，椭圆的对称轴是什么？[坐标轴]椭圆的对称中心是什么？[原点]椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。参考学习...3.顶点在椭圆的标准方程里，令x=0,得y=±b。这说明了B1(0,－b),B2(0,b

7、)是椭圆与y轴的两个交点。令y=0,得x=±a。这说明了A1(－a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。因为x轴，y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。它们的长

8、A1A2

9、=2a,

10、B1B2

11、=2b(a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)在Rt△OB2F2中，由勾股定理有[来源:Zxxk.Com]

12、OF2

13、2=

14、B2F2

15、2－

16、OB2

17、2，即c2＝a2－b2这就是在前面一节里，我们令a2－c2＝b2的几何意义。思考

18、2:对于椭圆与椭圆更接近圆的是？4.离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝，叫做椭圆的离心率。因为a>c>0,所以0

19、图形.[根据刚刚学过的椭圆的几何性质知，椭圆长轴长2a，短轴长2b，该方程中的a＝？b＝？c＝？因为题目给出的椭圆方程不是标准方程，所以必须先把它转化为标准方程，再讨论它的几何性质]解：把已知方程化为标准方程,这里a＝5，b＝4，所以c＝＝3因此，椭圆的长轴和短轴长分别是2a＝10，2b＝8离心率e＝＝两个焦点分别是F1(－3,0),F2(3,0)，四个顶点分别是A1(－5,0)A1(5,0)A1(0,－4)F1(0,4).根据椭圆的几何性质，用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：(1)以椭圆

20、的长轴、短轴为邻边画矩形；(2)由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；(3)用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:(1)经过点(-3,0)、(0,-2);(2)长轴的长等于20,离心率等于0.6例3：椭圆的一个顶点为A(2.0),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.参考学习...例题：1　已知椭圆16x2＋9y2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率．解：　将椭圆方程化为＋＝1，则a2＝，b2＝，椭圆焦点在y

21、轴上，c2＝a2－b2＝－＝，所以顶点坐标为(0，±)，(±，0)，焦点坐标为(0，±)，长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.2椭圆方程为“25x2＋16y2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．解　将方程变形为＋＝1，得a＝5，b＝4，所以c＝3.故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，参考学习...顶点坐标为A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－4,0)，B2(4,0).　3求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长

22、轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)过(3,0)点，离心率e＝.(1)由题意知2a＝4b，∴a＝2b.设椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1，代入点(2，－6)得，＋＝1或＋＝1，将a＝2b代入得，a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13，故所求的椭圆标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)当椭圆焦点在x轴上时，有a＝3，＝，∴c＝，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为