2020高考文科数学（人教版）一轮复习讲义：第22讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式 含答案

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1、第22讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式　　　　　　　　　　　1．理解并掌握正弦、余弦及正切的诱导公式和同角三角函数的基本关系式．2．能运用诱导公式及同角三角函数关系进行有关化简和求值．知识梳理1．同角三角函数的基本关系式平方关系：　sin2α＋cos2α＝1　；商数关系：　tanα＝　.2．诱导公式公式一：(其中k∈Z)sin(2kπ＋α)＝　sinα　，cos(2kπ＋α)＝　cosα　，tan(2kπ＋α)＝　tanα　.公式二：sin(－α)＝　－sinα　，cos(－α)＝　cosα　，tan(－α)＝　－tanα　.公式三：sin(π－α)＝　sinα　，co

2、s(π－α)＝　－cosα　，tan(π－α)＝　－tanα　.公式四：sin(π＋α)＝　－sinα　，cos(π＋α)＝　－cosα　，tan(π＋α)＝　tanα　.公式五：sin(－α)＝　cosα　，cos(－α)＝　sinα　.公式六：sin(＋α)＝　cosα　，cos(＋α)＝　－sinα　.1．同角关系的常用变形：(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα＝1±sin2α.(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2.(sinα＋cosα)2－(sinα－cosα)2＝4sinαcosα.2．诱导公式的记忆(1)2kπ＋α(k∈Z)，－α，

3、π±α，2π－α的三角函数等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(2)±α，±α的正弦(余弦)函数值等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．可采用口诀“奇变偶不变，符号看象限”进行记忆．热身练习1．已知sinα＝，≤α≤π，则tanα＝(A)A．－2B．2C.D．－　因为cosα＝－＝－，所以tanα＝＝－2.2．α是第四象限角，tanα＝－，则sinα＝(D)A.B．－C.D．－　(方法一)因为tanα＝－，所以＝－，所以cosα＝－sinα，代入sin2α＋cos2α＝1得sinα＝±，又α是第四象限角，所以si

4、nα＝－.(方法二)因为tanα＝－，且α是第四象限角，所以可设y＝－5，x＝12，所以r＝＝13，所以sinα＝＝－.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝(A)A．－B．－C.D.　因为sinα－cosα＝，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，所以sin2α＝－.4．若sin(π＋α)＝－，则cos(π－α)＝(A)A．－B．－C.D.　因为sin(π＋α)＝－sinα＝－，所以cos(－α)＝－sinα＝－.5．(2016·四川卷)sin750°＝　　.　sin750°＝sin(750°－360°×2)＝

5、sin30°＝.　　　　　　　　　　　诱导公式的应用(1)已知角α终边上一点P(－4,3)，则的值为　　　　.(2)cos(－π)的值为____________．(1)原式＝＝tanα.根据三角函数的定义得tanα＝－.故原式的值为－.(2)cos(－π)＝cos＝cos(2×2π＋)＝cos＝cos(2π－)＝cos＝.　　(1)－　　(2)　　(1)应用诱导公式时，需要准确记忆诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”是关键．(2)求任意角的三角函数时，一般用诱导公式将其变换为锐角的三角函数进行求解．其一般步骤是“去负——脱周——化锐”．1．(1)(2018·深圳一模)已

6、知sin(－x)＝，则sin(－x)＋sin2(－＋x)的值为(A)A.B.C．－D．－(2)sin(－π)的值为　－　.(1)(方法一：采用角的配凑)原式＝sin[3π＋(－x)]＋sin2[－－(－x)]＝－sin(－x)＋cos2(－x)＝－sin(－x)＋1－sin2(－x)＝－＋1－＝.(方法二：采用换元法)设－x＝θ，则sinθ＝，x＝－θ，所以原式＝sin(3π＋θ)＋sin2(－－θ)＝－sinθ＋cos2θ＝－sinθ＋1－sin2θ＝－＋1－＝.(2)sin(－π)＝－sinπ＝－sin(2π＋π)＝－sinπ＝－sin(π－)＝－sin＝－.同角三角关

7、系的应用已知tanα＝，则：(1)＝________；(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝________.(1)＝＝＝－.(2)　sin2α＋sinαcosα＋2＝3sin2α＋sinαcosα＋2cos2α＝＝＝＝.(1)－　(2)(1)齐次式(或可化为齐次式)常转化为正切进行处理．(2)注意“1”的运用，如1＝sin2α＋cos2α或1＝(sin2α＋cos2α)2等．2．(2016·全国卷Ⅲ)若tanθ＝－，则cos2θ＝(D)A．－B．－C.D.因为cos2θ＝＝，又因为tanθ＝－，所以cos2θ＝