一元线性回归,方差分析,显著性分析

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1、一元线性回归，方差分析，显著性分析一元线性冋归分析及方差分析与显著性检验某位移传感器的位移X与输出电压y的一组观测值如下：(单位略)设x无误差，求y对x的线性关系式，并进行方差分析与显著性检验。(附：F0o10(1,4)=4.54,FOo05(1,4)=7.71,F0。01(1,4)=21.2)凹归分析是研究变量之间相关关系的一种统计推断法。一.一元线性冋归的数学模型在一元线性回归中，有两个变量，其中x是町观测、可控制的普通变量，常称它为自变量或控制变量，y为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过散点图或计算相关系数判定y与x之间存在着显著的线

2、性相关关系，即y与x之间存在如下关系：y二a+b*x+£(1)通常认为£~N0,82且假设62与x无关。将观测数据xi,yi(i=l,……,n)代入(1)再注意样木为简单随机样木得：yi二a+b*xi+£i(2)2£1…£n独立同分布N0,a称(1)或(2)(乂称为数据结构式)所确定的模型为一元(正态)线性回归模型。对其进行统计分析称为一元线性冋归分析。模型⑵中EY=a+b*x,若记y=E(Y),则y=a+bx,就是所谓的一元线性回归方程,其图象就是冋归肓线，b为冋归系数，a称为冋归常数，有时也通称a.b为冋归系数。设得到的回归方程八b0bxy八

3、ytb0bxt,t1,2,,N残差方程为viyty根据最小二乘原理可求得回归系数b0和bo対照第五章最小二乘法的矩阵形式，令ylyY2yN1IX1xlx2xNbO八bbvlvV2vN则误差方程的矩阵形式为VYXb设测得值y的精度相等，则有对照VLAXt(XTX)1XTYb将测得值分别代入上式，可计算得bNxtyt(xt)(yt)tItItINNNNxt(xt)22(xt)2ttItINNlxylxx,bO(x)(yt)(xt)(xtyt)2tt1NNNNNxt2ItItINtINt1ybx具屮lxNlvNNxtINtINtytNINlxx(xt

4、x)xt(xt)2NtItIt122N1Nlxy(xtx)(yty)xtyt(xt)(yt)NtItItItINNINlyy(yty)ytyt)2NtItIt122XN二、回归方程的方差分析及显苦性检验问题：这条凹归直线是否符合y与x之间的客观规律四归直线的预报精度如何?解决办法:方差分析法一分解N个观测值与其算术平均值之差的平方和；从量值上区别多个影响因素；用F检验法对所求冋归方程进行显著性检验。(一)回归方程的方差分析总的离差平方和(即N个观测值之间的变差)S(yty)2lyy,SN1tIN可以证明：S=U+Q其中U(yt)2blxy,U1t

5、INP2lyyblxy,QN2Q(ytytINU—冋归平方和，反映总变差屮由于x和y的线性关系而引起y变化的部分。Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对y变差的影响。(二)冋归方程显著性检验一F检验法基本思路：方程是否显著取决于U和Q的大小，U越大Q越小说明y-与x的线性关系愈密切。计算统计量FF对一元线性冋归，应为FU/UQ/QU/1Q/(N2)查F分布农，根据给定的显著性水平和已知的自由度1和N-2进行检验：若,FFO.O1(1,N2),回归在0.01的水平上高度显著。FO.05(l,N2)FFO.O1(1,N2),

6、冋归在0.05的水平上显著。F0.10(1,N2)FFO.05(l,N2),回归在0.1的水平上显著。FFO.10(l,N2),回归不显著。(一)残余方差与残余标准差残余方差：排除了x対y的线性影响后，衡量y随机波动的特征量。Q2N2残余标准差：QN2含义：越小，回归直线的精度越高。程序如下：test二[1510152025;0.10510.52621.05211.57752.10312.6287]N=length(test(l,:));sx=0;sx2二0;sy=0;sy2=0;sxy=0;Lxy=0;Lyy=O;fori=l:Nsx二sx+t

7、est(1,i);sx2=sx2+test(1,i)2;sy二sy+test(2,i);sy2=sy2+test(2,i)2;sxy=sxy+test(1,i)*test(2,i);Lxy=Lxy+(test(l,i)-sum(test(1,:))/N)*(test(2,i)-sum(test(2,:)/N));Ly尸Lyy+(test(2,i)-sum(test(2,:))/N)2;endr=[N,sx;sx,sx2][sy;sxy];a=r(1);b=r(2);U二b*Lxy;Q=Lyy-U;F=(N-2)*U/Q;x二test(1,:);

8、y二a+b*x;eq二sum(test(2,:))/N;ssd=O;ssr=O;fori=l:Nssd=ssd+(test(2,i)-y