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《实验数据的一元线性回归分析及其显著性检验.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第14卷第4期大学物理实验Vol.14No.42001年12月出版PHYSICALEXPERIMENTOFCOLLEGEDec.2001文章编号:1007-2934(2001)04-0043-04实验数据的一元线性回归分析及其显著性检验周玉珠姜奉华(山东经济学院,济南,250014)(济南大学,济南,250022)摘要:本文系统介绍一元线性回归方程的解法以及对方程的检验,从而确定得出回归方程的正确性。本算法简单,易懂。关键词:回归方程;方差分析;F检验中图分类号:O24115O4-33文献标识码:A回归分析就是
2、应用数学的方法,对大量的测量数据进行处理,从而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。大学物理实验中最常见的是两个物理量之间的线性关系,一元线性回归就是来处理两个变量之间的关系问题。1回归方程的求法图1可知,实验测量值(x1,y1),(x2,y2),⋯⋯,(xn,yn)表示的关系为直线关系,设直线方程为:^y=a+bx(1)式中,^y表示与x对应的回归方程中的y值,a、b为常数。如果实验中没有误差,则把测量值(x1,y1),(x2,y2)⋯⋯(xn,图1测得x、y的散点图yn)代入方程两边应相等,即测量点都在直线
3、上。实际实验时,总存在误差,将各点的测量误差归结为y的测量偏差,记为Δy1、Δy2⋯⋯Δyn。则有:Δy1=y1-^y=y1-a-bx1Δy2=y2-^y=y2-a-bx2(2)┋Δyn=yn-^y=yn-a-bxnn2从(2)中,任选一个Δyi,则有Δyi=yi-a-bxi,当∑(Δyi)最小时,测量点与直线重合越i=1好。设收稿日期:2001-07-01—43—nn22S=∑(Δyi)=∑(y1-a-bxi)(3)i=1i=1nxnyii由最小2乘法原理并因为x=∑;y=∑,然后化简可得:i=1ni=1nn
4、∑(xi-x)(yi-y)i=1b=n(4)2∑(xi-x)i=1nnn22若令Lxx=∑(xi-x),Lyy=∑(yi-y),Lxy=∑(xi-x)(yi-y),i=1i=1i=1将a、b代入得出回归方程:^y=a+bx2回归方程的显著性检验求得回归方程能否揭示变量之间的内规律,应进行显著性检验,方法如下:先从偏差Δy=yi-y^i开始研究,将它变为:图2yi-y的分解图nnn2^)2^-y)2∑(yi-y)=∑(yi-yi+∑(yi(5)i=1i=1i=1n2(9)式中,∑(yi-y)为总平方和,yi在可上
5、下波动,如图2所示,用ST表示:i=1n2ST=∑(yi-y)=Lyy(6)i=1n^-y)2∑(yi为回归平方和,y^i要通过回归方程表示波动情况,用SA表示:i=1nnn^-y)22222SA=∑(yi=∑[(a+bxi)-(a+bx)]=∑b(x1-x)=bLxxi=1i=1i=1n^)2∑(yi-yi的偏差平方和,用SE表示i=12SE=ST-SA=Lyy-bLxx以上三个平方和对应的自由度为:—44—fT=n-1,fA=1,fE=n-2下面介绍F检验,先设统计假设:b=0,统计量F值定义为:回归平方和
6、/回归自由度SA/fAF==偏差平方和/偏差的度SE/fE已知显著性水平α,可通过查F分布表求出临界值Fα(1,n-2)若F>F0.01时,认为回归方程高度显著,用“333”表示,此时回归方程与实际方程重合概率为99%;若F0.01>F>F0.05时,视为显著,有“33”表示,其概率为95%;若F0.05>F>F0.10时,视为较显著,用“3”表示,概率为90%;若F0.1>F时,认为不显著,回归方程不能表示实际方程。3事例分析测量某导线在一定温度x(℃)下的电阻值y(Ω)得到表1所示的结果,找出它们之间的函数
7、关系,并检验方程的正确性。表1x、y的测量值x(℃)y(Ω)x(℃)y(Ω)1911761340108213525107718461583190301179175501085110361080180——求解以上问题,先根据表1中的测量数据画出散点图,图3可以看出,x与y之间的关系为直线关系,设所求回归方程为^y=a+bx的形式,列出表2所数据,求出a、b。由表2中的数据,可得:Lxy214.07b===0.28Lxx759.67a=y-bx=80.86-0.28×35.24=70.99则回归方程为:^y=70.
8、99+0.28x表2计算数据表序号xyx-x(x-x)y-y(y-y)2(x-x)(y-y)119.176.30-16.14260.50-4.5620.7923.60225.077.80-10.24104.86-3.069.3631.33330.179.75-5.1426.42-1.111.235.71436.080.800.760.58-0.60.36-0.46540.082.354
