资源描述：
《2.6 无穷小比较》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2.7无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小三、小结CalculusDr.F.Jiang一、无穷小的比较221例如,当时x→0,xx,,sin,sxxin都是无穷小.2xx观察下列极限lim=0,xx2比3;要快得多x→03xsinxlim=1,sinx与x大致相同;x→0x21xsin1limx=limsin不存在,不可比.x→0x2x→0x极限不同,反映了无穷小趋向于零的速度的“快慢”程度不同.定义:设α,β是同一过程中的两个无穷小,且α≠0β(1)如果lim=0,则称是比βα高阶的无穷小．α记作β=o
2、()αβ(2)如果lim=∞,则称是比βα低阶的无穷小；αβ(3)如果lim=C≠0,则称与是βα同阶的无穷小；αβ特殊地,如果lim=1,则称β与是α等价的无穷小；α记作α~;β2x例如，因为lim=0，x→03x2即xoxx=(3),(→0).2所以当x→0时，x是比3x高阶的无穷小．sinx因为lim=1，即sinx~,xx(→0).x→0x所以当x→0时，sinx与x是等价无穷小．二、等价无穷小代换定理(等价无穷小代换定理)(1)()αxxxx、、、βαβ()′()′()是同一极限过程的无穷小；(2)α~
3、αββ′′,~β′(3)lim存在．α′ββ′则lim=limαα′证βββα′′ββ′α′β′lim=⋅lim(⋅)=lim⋅lim⋅lim=limαβ′′ααβ′α′αα′注:由此可知,求两个无穷小量积或商的极限时,如果分子（或分子的乘积因子）或分母（或分母的乘积因子）的等价无穷小量存在,则就可用它们各自的等价无穷小量来代换原来的分子或分母（或分子或分母的乘积因子）,使计算简化。tan2x2x2例1lim=lim=x→0sin5xx→05x5几个常见的等价无穷小:当时x→0,sinx~x,tanx~,xarc
4、sinx~xarctanx~,xln(1+x)~,xx1~,ex−12n11cos~−xx;11+xx−≠~,(0a)2n注意上述公式应用的条件上述等价无穷小中的x可以是函数形式,但在所考虑的极限过程中,此函数的极限应为零.x→0,sin()~fxfx(),2sin2x例2求lim.x→01cos−x解12当x→0时,1cos~−xx,sin2~2.xx22(2x)原式=lim=8.x→012x21s+xxin1−例3求极限lim2x→0ex−1解因为1x22x→0有1s+−xxin1~sxxin,ex−1~2所
5、以1xsinx1s+xxin1−21lim=lim=xx22→0e−1x→0x2(x+1)sinx例4求lim.xx→0e−1x解当x→0时,sinx~x,e−1~x.原式=lim(x+1)x=lim(x+1)=1.x→0x→0x若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限．注意：不能滥用等价无穷小代换.切记:只可对函数的乘积因子作无穷小等价代换,对于代数和中各无穷小不能分别代换.tanx−sinx例5求lim.3x→0sin2xx−x错解当时
6、x→0,tanx~,sinxxx~.原式=lim3=0x→0(2)x1sin(x−1)解原式cosxsin(1cos)x−x=lim=lim33x→0(2)xx→0(2)cosxx12x⋅x21=lim=.3x→0(2)x16tan2x例6.求limx→πsin3xtan2x2x2lim=lim=x→πsin3xx→π33x解：令xtxt=π+→→，则π时,0tan2xttan2(π+)lim=limxt→→πsin3xt0sin3(π+)tan2t=limt→0−sin3t2t2=lim=−t→0−3t3xx(
7、1cos)−例7.求limtanx2;x→0(1ex−)sintanx解时∵xe→−01，~tanx~x,22sinx~x2xx⋅xx(1cos)−2∴=limtanx2limx→0(1ex−)sinx→0xx⋅21=2xab−b例8求极限lim,(a>0,b>0)x→ax−aax−aax()−ablnbb(1−)be(1−)解原式=lim=limxa→x−axa→x−aabxab()−ln=limxa→x−aa=bblnsinx例9若lim(cosx−=ba)5，求,bxx→0ea−【分析】本题属于已知极限求参
8、数的反问题.sinx解∵lim(cosxb−)=5xx→0ea−limsinx⋅(cosx−b)=0x→0x∴lim(ea−=)0∴a=1x→0sinxxlim(cosx−b)=lim(cosxb−)=15−=bx→0eax−x→0x∴b=−4fx()注：一般地，已知lim=Ax→*gx()(1)若，gx()→→0则fx()0;(2)若，fx()→≠0且A0，则gx()→
