7.7 二重积分1

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1、二、二重积分的计算计算二重积分的主要方法:是将它化成两次定积分的计算,称之为累次积分法.1.直角坐标系下二重积分的计算设f(x,y)在有界闭区域D上连续,若区域D可表示为D{(x,y)axb,(x)y(x)},12b2(x)b2(x)则f(x,y)dxdy[f(x,y)dy]dxdxf(x,y)dy.a1(x)a1(x)Dyy(x)2D称区域D为x区域,y(x)1xoab设f(x,y)在有界闭区域D上连续,若区域D可表示为D{(x,y)cyd,

2、(y)x(y)},12d2(y)d2(y)则f(x,y)dxdy[f(x,y)dx]dydyf(x,y)dx.c1(y)c1(y)Dydx(y)2x1(y)称区域D为y区域.Dcxob2(x)下面通过曲顶柱体的体积来说明f(x,y)dxdy[f(x,y)dy]dx.a1(x)D设f(x,y)0,则f(x,y)dxdy表示以区域D为底,以曲面zf(x,y)为顶的曲顶柱体的D体积.利用第174页中已知平行截面面积求立体体积的公式来求f(x

3、,y)dxdy.D如图,在[a,b]上任取一点x,过点(x,0,0)作垂直于x轴的平面,截得曲顶柱体的截面是2(x)一个曲边梯形,其面积S(x)f(x,y)dy,x[a,b].1(x)bb2(x)因此该曲顶柱体的体积为f(x,y)dxdyaS(x)dxa[(x)f(x,y)dy]dx.1Dzf(x,y)zyy2(x)zf(x,y)zDyDy(x)1xyxoabo1(x)2(x)oaxb当一个区域既是x区域又是y区域,如图.yyyxxxooob2(x)

4、b2(x)则f(x,y)dxdya[(x)f(x,y)dy]dxadx(x)f(x,y)dy.11Dd2(y)d2(y)f(x,y)dxdyc[(y)f(x,y)dx]dycdy(y)f(x,y)dx.11D当一个区域既不是x区域又不是y区域时,如图,yyyIIIIIxIIIIIoxxIIoo可以将它划分成几个x区域与y区域,再利用性质7.7来计算这种区域上的二重积分.例:将二重积分f(x,y)dxdy按两种次序化为累次积分,其中D由yln

5、x,Dy0与yxe1所围成的平面区域.yylnx(e,1)y解:(1):D{(x,y)0y1,exye1},1ye1e1则f(x,y)dxdy0dyeyf(x,y)dx.o1exDyxe1解:(2):D{(x,y)1xe,0ylnx}{(x,y)exe1,0yxe1}elnxe1xe1则f(x,y)dxdy1dx0f(x,y)dyedx0f(x,y)dy.D例:计算xydxdy,其中D是由直

6、线x2,y1及yx所围成.Dy解(1):D{(x,y)1x2,1yx},22x故xydxdy1dx1xydy1Dx129(x3x)dx.o12218解(2):D{(x,y)1y2,yx2},3222y9故xydxdy1dyyxydx1(2y)dy.28D2例:计算xydxdy,其中D为yx,yx2所围成的平面区域.D2解(1):D{(x,y)1y2,yxy2},2y2122445故xydxdydyxydxy[

7、(y2)y]dy.1y2128D解:(2):D{(x,y)0x1,xyx}{(x,y)1x4,x2yx}1x4x45故xydxdy0dxxxydy1dxx2xydy.8Dxyex例:计算dxdy,其中D是由直线ye,y2及x0所围成.ylnye1D解:D{(x,y)1y2,0xlny},xyxye2lnye故dxdydydxeylny110eylny1Dlny211xy21[e]dydyln2

8、.1eylny1y1y0xy例:计算dxdy,其中D为xy,y1,x0所围成的平面区域.3D1y解:D{(x,y)0y1,0xy},xy1yxy故dxdydydx3003D1y1y2311y11d(1y)1dy(21).201y3601y332e2e2例:交换积分次序0dy1f(x,y)dxedylnyf(x,y)dx.解:先画出积分区域2D{(x,y)0ye,1x2}{(x,y)ey