7.7 二重积分2

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1、1122y例:计算二重积分dxxedy.0x解:积分区域D{(x,y)0x1,xy1},则D也可表示为D{(x,y)0y1,0xy},1121y212y2y2yy20dxxxedy0dy0xedx0edy0xdx11y23112y212y2111y22eydyydeyeed(y)306060601111y22111y21111eed(y)eee.660660362例:设f(x,y)连续,且f(x,y)xyxf(x,y)dxdy,其中D由y0,

2、Dyx与x1围成,求f(x,y).yyx解:D{(x,y)0x1,0yx}.设kf(x,y)dxdy,xDo122则f(x,y)xyxf(x,y)dxdyxykx.D22f(x,y)dxdy(xykx)dxdy(xy)dxdykxdxdy.DDDD2k(xy)dxdykxdxdy.DD2.极坐标系下二重积分的计算极坐标系的定义在平面内任取一个定点O,叫做极点;从定点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位和角度的正方向,通常取逆时针方向为正.则对平面内任意一点M,用r表示

3、线段OM的长度,表示从Ox到OM的角度,r称为点M的极径,称为点M的极角,有序数组(r,)称为点M的极坐标.M(r,)这样建立的坐标系称为极坐标系,如图.rxO3例:已知Ox与OP的夹角为,Ox与OQ的夹角为,Ox与OR的夹角为,644求A,B,C三点的极坐标.13251123解:A的极坐标为(3,),(3,),(3,),(3,),(3,)等;6666631119513B的极坐标为(2,),(2,),(2,),(2,),(2,)等;444447159QPC的极坐标为(3,),(3,),(3,),(3,)等

4、.4444BAx极点O的极坐标为:r0,为任意数.O123通常规定:r0,02.CR在此规定下,除了极点O外,平面内的点与极坐标中的点建立起了一一对应关系.37故上例中:A(3,),B(2,),C(3,)644平面内极坐标与直角坐标的关系:yM把直角坐标系的原点取为极点,rx轴的正半轴取为极轴,yx并在两种坐标系中取相同的长度单位.ox设M为平面内任意一点,且它在直角坐标系中的坐标为(x,y),它在极坐标系中的坐标为(r,).则xrcos,yrsin,其中r0,02.在极坐标中,rr(r为常数)表示:一个半径为r的圆

5、周,而为[0,2)中任意数.000(为常数)表示:从极点出发的一条射线,而r0为任意数.00在极坐标系中,用一组以极点为圆心的同心圆(rr常数)和一组过极点的射线(常数)00将积分区域D分割为n个小区域:,,,,如图.12n其中任一小区域均为曲边四边形:分别有半径为r和rr的两圆弧与极角和的两射线所围成,仍以表示这个小区域的面积.1212r则由扇形公式知:(rr)ror22rr12212(r2rrr)r2212121212rrr

6、rrrrr.222212当分割无限细时,即(r,)(0,0)时,r为rr的高阶无穷小量,212故r可忽略不计,从而(r,)(0,0)时,rr,2因此可得极坐标下的面积元素drdrd.又由点的极坐标与直角坐标之间的关系:xrcos,yrsin.被积函数f(x,y)用极坐标(r,)的表示为f(x,y)f(rcos,rsin).故在极坐标下,二重积分f(x,y)df(rcos,rsin)rdrd,DD其中D为D的极坐标表示.在极坐标下,计算二重积

7、分f(rcos,rsin)rdrd仍然是将它化为关于r和D的累次积分,下面分三种情况讨论.(1):若极点O在积分区域D内部,且D的边界曲线为连续封闭曲线rr(),如图.则D{(r,)02,0rr()}.rr()f(rcos,rsin)rdrdDDr2r()odf(rcos,rsin)rdr.00(2):若极点O在积分区域D外,且D由射线,和连续曲线rr(),rr()所围成,如图.12则D{(r,),r()rr()},12r2()

8、f(rcos,rsin)rdr