[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-1

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1、第一章n阶行列式解n元一次方程组常用的方法是消元法，通过消元得到axi=b，进而解出xi.当然a,b都是由方程组中的系数确定的.经过长期的实践，数学家们建立了行列式理论.§1预备知识一二阶、三阶行列式设下列方程组有解用消元法解得定义称为二阶行列式.同样也是二阶行列式.同样用消元法解三元方程组得(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a31a13a22a31a12a21a33a11a23a32)x1=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32a13a22b3a12b2a33b1a23a32将x1前的系数定义

2、为三阶行列式.考察二阶、三阶行列式的特点：二阶、三阶行列式的每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积.二阶行列式有2!项，三阶行列式有3!项.各项前的符号可能与每一元素所处的位置有关.二排列及其逆序数定义由1，2，···，n共n个数码组成的一个有序数组称为一个n阶排列。例如1,2,3,4可组成24=4!个不同的4阶排列.1,2,…,n可组成n!个不同的n阶排列.对4阶排列1234及1324，1234为自然顺序，称为标准排列.1324中3在2之前，称这两个数字构成一个逆序.在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.例如排列32514中，定义排

3、列的逆序数32514逆序逆序逆序定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.例如排列32514中，32514逆序数为31故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法方法1分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.方法2例1求排列32514的逆序数.解在排列325

4、14中,3排在首位,逆序数为0;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;32514于是排列32514的逆序数为5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;这是一个奇排列.解当时为偶排列；当时为奇排列.定义把一个排列中某两个数字位置互换，而其余的数字位置保持不变，就构成了一个新的排列。我们把对排列所施行的这种变换称为排列的一个对换。例如53412经过15对换得到13452，这时有(53412)=3+3+1+1=8,(13452)=3.排列的奇偶性发生了变化.定理

5、1.1一次对换改变排列奇偶性．证明设排列为对换与除外，其它元素的逆序数不改变.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为当时，现来对换与次相邻对换次相邻对换次相邻对换所以一次对换改变排列奇偶性.注：n2时，n个数码构成的奇排列与偶排列个数相等，各为n!/2个.重新考察二阶、三阶行列式每项的符号，可以得到以下规律：当行序取成标准排列，由列序排列的奇偶性决定每项前的正负号.二阶：a11a22,(12)=0,偶排列，正号；a12a21,(21)=1,奇排列

6、，负号.三阶：正号三项的列标排列123,231,321是偶排列；负号三项的列标排列312,213,132是奇排列.利用上面的说明，二阶、三阶行列式也可以这样写：