江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.5向量的应用》学案

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1、江苏省常州市西夏墅中学高一数学《2.5向量的应用》学案教学目标:1.经历用向量方法解决某些简单的几何问题、力学问题的过程,体会向量是一种数学工具,发展学生运算能力和解决实际问题的能力;2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算,并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力教学重点:运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算,用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题的“三步曲”.教学难点:实际问题转化为向量问题,体现向量的工具作用.用向量的方法解决某些简单的平面几何问题

2、、力学问题与其它一些实际问题,体会向量在几何、物理中的应用.教学方法:启发式教学.120o10N教学过程:一、情景创设问题1 如图,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具,则每根绳子的拉力是多少?二、学生活动120o10NOABC120o10NOABC问题2 我们在图中标上相应的字母(如图),根据力的平衡理论,①绳子OA与绳子OB的拉力与灯具的重力G具有什么关系?②绳子OA与绳子OB的拉力有什么关系?学生讨论得出结论:①F1+F2+G=0.②F1=F2.问题3 如果将绳子OA的拉力表

3、示为向量,绳子OB的拉力表示为向量,重力表示为向量,则向量、、之间有什么关系?学生讨论得出结论:++=.这样物理问题就与数学中的向量产生了联系.三、建构数学120oOABCD问题4 你能否根据以上信息,将这个物理问题编写成一个数学问题?你能解决这个问题吗?学生讨论,教师整理,形成数学问题:已知向量、之间的夹角为120o,且向量的模等于向量的模,向量的模为10,求向量、的模.学生讨论解决问题:过A,B两点分别作OB、OA的平行线,相交于D点,则四边形OADB是菱形,连接OD,则OD=

4、

5、=10,因为OA

6、=OB=AD=BD,且∠AOB=120o,所以ΔOAD是等边三角形,所以OA=AD=OD=10,即

7、

8、=10,

9、

10、=10.亦即每根绳子的拉力都是10N.变题:在汽车站或火车站我们常见:两个人共提一个旅行包,若包重20N,还需什么条件,你能求每一个人手臂的拉力?小结:(由学生讨论,教师整理)1.利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化,即把物理问题转化为数学问题;②建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;③求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;④回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.2.用向量

11、知识解决物理问题时,要注意数形结合.一般先要作出向量示意图,必要时可建立直角坐标系,再通过解三角形或坐标运算,求有关量的值.四、数学应用1.例题.例1 如图(1)所示,无弹性的细绳的一端分别固定在处,同质量的细绳下端系着一个称盘,且使得,试分析三根绳子受力的大小,判断哪根绳受力最大?AOBC(1)A1OB1(2)C1题后反思:(1)本题你还最想知道什么?(2)绳子OB与绳子OC所受力的大小比较的本质是什么?(3)你还能提出一些什么问题?例2 已知:,求证:.题后反思:(1)你能否画出一个几何图形来解释

12、例2? (2)从例2中你能得出什么结论?学生讨论得出结论:三角形ABC的三条高交于一点.例3 已知直线经过点,用向量方法求的方程.分析:设是直线上任意一点,由与共线的条件可推导得直线方程.2.练习.(1)已知作用于点的力的大小分别为6,8,且两力间的夹角为,则两力合力的大小为__.ABC(2)在四边形中,·=0,=,则四边形是_______(直角梯形、菱形、矩形、正方形).(3)如图,一个三角形角铁支架ABC安装在墙壁上,AB∶AC∶BC=3∶4∶5,在B处挂一个6kg的物体,求角铁AB与BC所受的力

13、(取g=10m/s2).(4)已知两点,,试用向量的方法证明以线段为直径的圆的方程为.(5)一条河两岸平行,河宽,一艘船从处出发航行到河的正对岸的处,船航行速度,水速,要使船垂直到达对岸所用的时间最少,与的夹角是多少?五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:1.如何把物理学问题转化为数学问题2.如何把几何学问题转化为向量问题?3.如何运用向量的平行四边形法则和力的平衡知识,作好力的分解和合成.4.通过本节课的学习,让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工

14、具5.数形结合法.

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