第1讲 运用函数与方程思想研究函数(文科)

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1、第1讲运用函数与方程思想研究函数、方程、不等式问题等(文科)一、基础再现1.方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A．B．C．D．2.（2010年天津卷文科4）函数的零点所在的一个区间是(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）3.函数，在区间上存在一个零点，则的取值范围是或（D）4.若函数的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则（A）（B）（C）（D）5.已知函数若，则..w.w6.(2010年全国大纲卷一文科7)已知函数.若且,则的取值范围是()(A)(B)(C)(D)二、备考导引（600字）1.思想概述（30

2、0字）函数与方程的思想是中学数学的基本思想方法,也是历年高考的重点。函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题、解决问题。方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。函数与方程思想在解题中的应用主要表现在：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的；三是通过

3、分析已知与未知之间的等量关系，构造方程，利用方程的有关知识解决问题。2.考情透视（150字）纵观近几年的高考试题，考查函数与方程思想的题目占较大的比例，始终在20%左右，是高考的重点内容，题目类型既有灵活多变的选择题、填空题，又有一定能力要求的解答题，客观题较简单，解答题较难，且试题中的大部分压轴题与函数方程思想都有关．考查知识点主要是基本初等函数的有关概念、图像、性质，函数、方程、不等式、解几等内容的综合应用等.3.复习建议（150字）在复习中注意在以下几个方面应用函数与方程思想：(1)函数、方程、不等式是密切相关的，可以相互转化；(2)用函数的观

4、点处理数列的通项或前n项和等问题；(3)解析几何中的直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组解决；(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要构造方程或函数解决。三、解题指导（2000字）题型一运用函数与方程思想研究函数、方程、不等式问题例1.已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为。5（Ⅰ）若方程有两个相等的根，求的解析式；（Ⅱ）若的最大值为正数，求的取值范围。思路分析：（Ⅰ）利用待定系数法及已知条件列出关于的方程求解；（Ⅱ）求出的最大值（用表示），再解不等式。解答过程:(I)∵f(x)+2x＞0的解集为(1,3)，　　∴

5、f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a＜0.　　∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.　①　　由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.　　②　　∵方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2-4a×9a=0，即5a2-4a-1=0，　　解得a=1或a=.　　由于a＜0，故舍去a=1.　　将a=代入①得f(x)的解析式为　.(II)　　又a＜0，故可得f(x)的最大值为.由得或.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是或.归纳总结：二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的重要内容

6、，它把中学数学各个分支紧密地联系在一起.以“三个二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题.例2.设,其中,如果当时,有意义,求的取值范围.思路分析：利用分离参数法求解.解答过程:要是函数有意义，必须且只需,由题意知当时恒成立,而、都是减函数，所以也是减函数，则在上是增函数，故时取得最大值是，从而得的取值范围是。归纳总结：本例采用分离参数法，再构造函数，使不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题。题型二运用函数与方程思想研究三角函数问题等5例3.已知关于的方程在内有两个不等的实数根，求实数的范围。思路分

7、析：构造函数和.利用函数图像求解。解答过程:画出函数，的图像，有图像可以看出当时，两个函数的图像有两个不同的交点，交点的横坐标就是原方程的根，所以的范围为。归纳总结：把方程两边看作两个函数，方程的解就是图像的交点的横坐标，构造函数巧妙求解.题型三运用函数与方程思想研究函数图像问题等例4.（2010年北京高考卷文科18）设函数，且方程的两个根分别为1，4。（Ⅰ）当且曲线过原点时，求的解析式；（Ⅱ）若在无极值点，求的取值范围。思路分析：（Ⅰ）利用二次方程的根与系数的关系得的方程组求解；　（Ⅱ）转化为二次不等式恒成立问题.解答过程：由得因为的两个根分别为1

8、,4，所以（*）（Ⅰ）当时，又由（*）式得解得又因为曲线过原点，所以，故（Ⅱ）由于,所以“在（-∞，+∞）内