高中数学 第三节 不等式奥林匹克竞赛题解

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1、第二章代数第三节不等式B3－001 北京、上海同时制成电子计算机若干台，除本地应用外，北京可支援外地10台，上海可支援外地4台．现在决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机运费如右表所示（单位：百元），又上海、北京当时制造的机器完全相同．问应怎样调运，才能使总的运费最省？【题说】1960年上海市赛高一复赛题6．【解】设北京调给重庆x台，上海调给重庆y台，则0≤x≤10，0≤y≤4x+y=8总运费为8x+4（10－x）+5y+3（4－y）=4x+2y+52=84－2y当y=4时，总运费最小，此时，x=4，10－x=6，4－y=0．答：北京调给重

2、庆4台，调给汉口6台，上海调给重庆4台，这样总运费最省．B3－002 x取什么值时，不等式成立？【题说】第二届（1960年）国际数学奥林匹克题2．本题由匈牙利提供．52用心爱心专心将原不等式化简得              x2（8x－45）＜0，因此，原不等式的解为B3－003 甲队有2m个人，乙队有3m个人，现自甲队抽出（14－m）人，乙队抽出（5m－11）人，参加游戏，问甲、乙队各有多少人？参加游戏的人有几种选法？【题说】1962年上海市赛高三决赛题4．【解】抽出的人数必须满足解得m=5．故甲队有2m=10人，乙队有3m=15人，甲队

3、抽出14－m=9（人）．乙队抽出5m－11=14（人），从而参加游戏的人共有选法． B3－004 求出所有满足不等式的实数．【题说】第四届（1962年）国际数学奥林匹克题2．本题由匈牙利提供．52用心爱心专心B3－007 设a1，a2，…，an为n个正数，且设q为一已知实数，使得0＜q＜1．求n个数b1，b2，…，bn使1．ak＜bk，k=1，2，…，n．【题说】第十五届（1973年）国际数学奥林匹克题6．本题由瑞典提供．【解】设bk=a1qk-1+a2qk-2+…+ak-1q+ak+ak+1q+…+anqn-k（k=1，2，…，n）．1．

4、显然bk＞ak对k=1，2，…，n成立．2．比较bk+1=qka1+qk-1a2+…+qak+ak+1+…+qn-k-1an与qbk=qka1+…+q2ak-1+qak+q2ak+1+…+qn-k+1an，qbk的前面k项与bk+1的前面k项相等，其余的项小于bk+1的相应项（因为q＜1）．因此bk+1＞qbk．52用心爱心专心因此，b1，b2，…，bn满足题目的要求．B3－008 求满足条件：x≥1，y≥1，z≥1，xyz=10，xlgxylgyzlgz≥10的x、y、z的值．【题说】1979年黑龙江省赛二试题3．【解】设lgx=u，lg

5、y=v，lgz=w，则原题条件就变为：u≥0，v≥0，w≥0                             （1）u+v+w=1                                            （2）u2+v2+w2≥1                                        （3）（2）平方得            u2+v2+w2+2（uv+vw+wu）=1              （4）（4）－（3）得              uv+vw+wu≤0由（1）得          

6、        uv=vw=wu=0                                   （5）由（2）及（5）得：因此满足题意的解为：52用心爱心专心B3－009 长方形的一边长为1cm已知它被两条相互垂直的直线分成四个小长方形，其中三个的面积不小于1cm2，第四个的面积不小于2cm2．问原长方形另一边至少要多长？【题说】第十七届（1983年）全苏数学奥林匹克九年级题6．【解】设小长方形的边长如图所示，则我们要求c+d的最小值，由题设c+d=（a+b）·（c+d）=ac+bd+ad+bcB3－010 m个互不相同的正偶数与

7、n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有的这样的m与n，问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论．【题说】第二届（1987年）全国冬令营赛题6．【解】1987≥2+4+6+2m+1+3+…+（2n－1）=m（m+1）+n252用心爱心专心因此，由柯西不等式于是221为3m+4n的上界，当m=27，n=35时，3m+4n取得最大值221．B3－011 求最大的正整数n，使不等式只对一个整数k成立．【题说】第五届（1987年）美国数学邀请赛题8．【解】原式等价于取n=112，则k只能取唯一的整数值97．另一方面，在n＞112时，52用心

8、爱心专心因此满足要求的n=112．B3－012 非负数a和d，正数b和c满足条件b+c≥a+d，这时【题说】第二十二届（1988年）全苏数学奥林匹克九年级题7．【证】不妨设a+b