高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式

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1、高中数学奥林匹克竞赛知识讲座————不等式张承宇（广东深圳中学518012）1.知识点释要不等式知识是数学竞赛的热门考点之一，从国际数学奥林匹克竞赛来看，到现在为止已举行了47届，几乎每届都有不等式的题目，此外还有不少题涉及到不等式或极值。也正是因为如此，在中国数学奥林匹克冬令营及国家集训队的考试中，不等式和平面几何一样，成了每届必考的内容.在这些题目中，纯不等式的题目大多数是证明题.证明不等式的方法有很多，常用的方法有：比较法、综合法、分析法、数学归纳法、放缩法、换元法、逐步调整法等等。此外，构造辅助函数，利用函数

2、的值域或单调性进行证明，也是常用的方法.一些经典不等式，例如平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、契比雪夫不等式等等，均是证明不等式的有力工具，在竞赛中还出现了不少几何不等式问题，这些问题除了直接使用几何方法之外，利用变换把几何不等式转化为代数不等式或三角不等式，也是一种有效的途径.竞赛中的极值问题大多数与不等式有关，通常也可以归结为不等式问题.2例题分析2．1不等式证明的通法222abc111例1设abcR,,abcR,,，求证66bc222caaba

3、bc2a22bc3证明因为原式左边=bccaabbccaab2abc4a44ac3,bccaababc222acacab2令bcxcayabz,,,所以上式右边yzxzxyxyzyzx222222222zxyxyz3+222xyzyzzxxy2yzzxxy222xyz6222xyzyxzxxy111111222xyzxyz()()()622yzz22xx22yyzz

4、xxyxy114114z114=()()()66,22yzyzzxzx2xyxy当且仅当xyz,即abc时,等号成立.评注换元法常用来去分母、去根号,从而化简数式,对于条件abc1，常用代换xyzabcx,,(,y,z0)，使非奇次不等式变为奇次不等式；对于三角形的3条边，常yzx作代换amnbnlclmmnl,,(,,0)..例2aa是一个循环小数，f()m表示a的小数点后第k位开始，连续m位上的数字之积，k11证明存在正整数p,q，对任意的st,，均有

5、f()sfs(t)t.pq证明不妨设a为纯循环小数，aa0.aa...,a的循环节为n，即aai,1,2,...如果12nini存在某个a0，可取pqk，那么可设ai0,1n,Gnaa...a作代换kin12aix,1in，则xx...x1.i12nG以下证明：一定存在正整数p，对任意的，均有sxxx...1。鉴于xxx...1。pp12p312n只需对sn进行证明。如果x,xx...,xx...x这n个乘积值均不大于1，那么可取pn.若它11212n们之

6、中至少有一个大于1，则不妨设xxx...是其中的最大值，有12pxx...x1,xx...xx1,...,xx...x...x1.pn11pn112pn11p这是因为按p的取法可知，上述各式左边除去最初np个因子，其余各因子这积均不大于sxxx....因此一定存在正整数p，对任意的，均有sxx...x1，即aa...aG12ppp12pspp12ps从而saaa...G。qp12ps11同理可证，一定存在正整数q，对任意的t，有taaa...G即f()sfs()tt.

7、qq12q1pq评注这里采用的证题方法叫做磨光变换，它实质上就是逐步调整法，通常适合对n个正数的不等式，其中当n个变量相等时，取到等号.本题在设置变换时，保持n个正数的几何平均不变.2．2不等式证明的特殊技巧例3abi0,0(1,2,...,),nn3，...iiAnBi+1且ab1122ab...abknn，则Bnnnk2(2n)AnAi+12abii1sec，其中约定bbn11。i142nB1Bi证明如图1，作边长为k的正n边形AAA...，易证12nAA2.

8、..i2nk(2n)stan.分别在AAAA,,...,AA上取点B,BB,...,，使得nA边形12AA...n42n1223n112n

9、AB

10、bBA,

11、

12、aAB,

13、

14、bB,

15、A

16、a,...,111121222232

17、AB

18、bBA,

19、

20、a,...,

21、AB

22、b,

23、BA

24、a.于是iiiii11innnnn1SB

25、

26、