代数系统的基本概念

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1、数学模型：针对某个具体问题选用适宜的数学结构去进行较为确切的描述。代数结构：由对象集合及运算组成的数学结构，一类特殊的数学结构。格和布尔代数----硬件设计和通信系统设计中的工具；半群----自动机和形式语言研究；关系代数----关系型数据库；有限域----通讯中编码的基础。第5章代数系统的基本概念5.1二元运算及其性质5.2代数系统*5.3代数系统的同态与同构5.4例题选解习题五5.1二元运算及其性质定义5.1.1设A是集合，函数f：An→A称为集合A上的n元代数运算（operators），整数n称为运算的阶（order）。当n=1时，f：A→A称为

2、集合A中的一元运算。当n=2时，f：A×A→A称为集合A中的二元运算。集合和它上面的运算所遵从的算律构成了代数系统。集合中的代数运算实质上是集合中的一类函数。一般地，二元运算用算符，*，·，Δ，◇等等表示，并将其写于两个元素之间，如Z×Z→Z的加法。F(〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5注意到RanfA，即运算结果是A中的元素，这称为运算的封闭性。另外，运算是函数，要具备函数所具有的对每一个自变元有唯一的像的特性。【例5.1.1】下面均是一元运算的例子。（1）在Z集合上（或Q，或R），f：Z→Z，x∈Z，f(x)=-x。（2）在A={0,1}

3、集合上，f：A→A，p∈A，f(p)=﹁p，﹁表示否定。（3）在R+集合上，f：R+→R+，x∈R+，f(x)=1/x（但在R上，倒数不是一元运算，因为0无像）。【例5.1.2】下面均是二元运算的例子。（1）在Z集合上（或Q，或R），f：Z×Z→Z，〈x,y〉∈Z2，f(〈x,y〉)=x+y(或f(〈x,y〉)=x-y或f(〈x,y〉)=x·y)，如f(〈2,3〉)=5。（2）A为集合，P(A)为其幂集。f：P(A)×P(A)→P(A)。f可以是∩、∪、-、。（3）A={0,1}。f：A×A→A。f可以是∧、∨、→、。（4）AA={f

4、f：A→A

5、}。“(复合)”是AA上的二元运算。当A是有穷集合时，运算可以用运算表给出。如A={0,1,2,3,4,5}，二元运算“”的定义见表5.1.1。表5.1.1012事实上，对于表5.1.1，我们可观察看出其运算为(〈x,y〉)=x·y(mod3)其中，·是普通乘法。而对于表5.1.2，此时的*运算应是在集合{0,1}上的∧（逻辑合取运算符）。*01010001表5.1.2下面介绍二元运算的性质。定义5.1.2设*，均为集合S上的二元运算。(1)若xyz(x,y,z∈S→x*(y*z)=(x*y)*z)，则称*运算满足结合律。(2)若xy(x,

6、y∈S→x*y=y*x)，则称*运算满足交换律。(3)若xyz(x,y,z∈S→x*(yz)=(x*y)(x*z))，则称*运算对运算满足左分配律；若xyz(x,y,z∈S→(yz)*x=(y*x)(z*x))，则称*运算对运算满足右分配律。若二者均成立，则称*运算对运算满足分配律。（4）设*，均可交换，若x，y∈A，有x*(xy)=xx(x*y)=x则称运算*和运算满足吸收律。（5）若x(x∈A，x*x=x)，则称*运算满足幂等律。【例5.1.3】加法、乘法运算是自然数集上的二元运算，减法和除法便不是。但是减法是有理数集、实数集上的

7、二元运算，除法却仍不是。加法、乘法满足结合律、交换律，乘法对加法、减法满足分配律，减法不满足这些定律。乘法“”对加法“+”运算满足分配律（对“-”也满足）。但加法“+”对乘法“”运算不满足分配律。【例5.1.4】设A是集合，在A的幂集P(A)上的二元运算并∪、交∩满足交换律、结合律、吸收律、幂等律且彼此满足分配律。【例5.1.5】设A={a,b}，A上的运算*、分别如表5.1.3、5.1.4所示。*abababbaababaaab表5.1.3表5.1.4解从*运算表可知，*是可交换的。因为(a*a)*b=a*b=ba*(a*b)=a*b=b(a*

8、b)*b=b*b=aa*(b*b)=a*a=a所以*是可结合的。从ο运算表可知，ο是可交换的。因为(aοa)οb=aοb=aaο(aοb)=aοa=a(aοb)οb=aοb=aaο(bοb)=aοb=a所以ο是可结合的。（1）bο(a*b)=bοb=b(bοa)*(bοb)=a*b=b（2）aο(a*b)=aοb=a(aοa)*(aοb)=a*a=abο(a*a)=bοa=a(bοa)*(bοa)=a*a=abο(b*b)=bοa=a(bοb)*(bοb)=b*b=aaο(a*a)=aοa=a(aοa)*(aοa)=a*a=aaο(b*b

9、)=aοa=a(aοb)*(aοb)=a*a=a所以ο对*是可分配的。（由于ο运算满足交换律