二次函数y=ax2+bx+c的图像及其性质

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1、#+二次函数的图象【教学目标】1、会用描点法画出二次函数、与的图象；2、能结合图象确定抛物线、、的对称轴与顶点坐标；3、通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;【教学重点】画出形如、与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.【教学难点】理解函数、、与及其图象间的相互关系【知识点梳理】知识点一、二次函数的定义：　　形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadraticfuncion).其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.知识点二、二次函数的图象及画法　　二次函数y=ax

2、2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同.　　1.用描点法画图象　　首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点.　　2.用平移法画图象　　由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-

3、h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2#+的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k).　　　　　　　　　　　知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质：函数a的符号图象开口方向顶点坐标对称轴增减性最大(小)值y=ax2a>0向上(0，0)y轴x>0时，y随x增大而增大x<0时，y随x增大而减小当x=0时，y最小=0y=ax2a<0向下(0，0)y轴x>0时，y随x增大而减小x<0时，y随x增大而增大当x=0时，y最大=02.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性

4、质:　　(1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c　　(2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质：　　二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线.它的顶点坐标是，　　对称轴是直线#+函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)图象a>0a<0性质(1)当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸，顶点是它的最低点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物

5、线自左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右上升.(1)当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸，顶点是它的最高点.(2)在对称轴直线的左侧，抛物线自左向右上升；在对称轴右侧，抛物线自左向右下降.知识点四、抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用a，b，c的代数式作用字母的符号图象的特征a1.决定抛物线的开口方向；2.决定增减性a>0开口向上a<0开口向下c决定抛物线与y轴交点的位置，交点坐标为(0，c)c>0交点在x轴上方c=0抛物线过原点c<0交点在x轴下方决定对称轴的位置，对称轴是直线ab>0对称轴在y轴左侧ab<0对称轴在y轴右侧b2-4ac决定

6、抛物线与x轴公共点的个数b2-4ac>0抛物线与x轴有两个交点b2-4ac=0顶点在x轴上b2-4ac<0抛物线与x轴无公共点【典型例题】#+题型一：的图象和性质例1、一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．例2、 在同一平面直角坐标系画出函数、、的图象.由图象思考下列问题：　　（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？　　（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？　　（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线与同有什么关系？例3、已知二次函数，当k为何值时，此

7、二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式．变式训练：1、已知函数，，．（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．2、不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的．3、若二次函数#+的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？题型二：的图象和性质例1、不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?例2、已知函数，，．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分

8、别讨论各个函数的性质．例