江苏省常州“教学研究合作联盟”2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）

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1、江苏省常州“教学研究合作联盟”2018-2019高二下学期期中考试数学（理）试题一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.若复数满足（为虚数单位），则复数的实部是_____．【答案】1【解析】【分析】利用复数除法化简复数，结合实部定义求解.【详解】，所以实部为1.【点睛】本题主要考查复数的除法和实部的概念,属于容易题.2.已知，是空间两个单位向量，它们的夹角为，那么______．【答案】【解析】【分析】先求，再求解.【详解】,所以.【点睛】本题主要考查空间向量模长的求解，模长求解一般是求解模的平方，

2、转化为向量数量积问题.3.若复数满足其中为虚数单位，为的共轭复数，则在复平面内对应的点位于第_____象限.【答案】四【解析】【分析】利用待定系数法求出复数，再进行判定.【详解】设，则，代入可得，由复数相等的定义可得，即，故在复平面内对应的在第四象限.【点睛】本题主要考查共轭复数的概念及复数简单运算，属于简单题目.4.设,是两个不共线的空间向量，若，，，且三点共线，则实数的值为_______．【答案】4或-1【解析】【分析】利用三点共线，可得可求k的值.【详解】因为三点共线，所以存在实数使得，所以，解得或.【点睛】本题主要考查空间向量的应用,三

3、点共线问题转化为向量平行问题求解.5.若向量,，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】夹角为钝角可得且不反向.【详解】因为与的夹角为钝角，所以且不同向.，整理得.当反向时，，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的夹角问题,夹角为钝角可得且不反向；夹角为锐角可得且不同向；夹角为直角可得.6.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先

4、否定命题，故答案为：存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.7.如图，在正四面体中，分别为的中点，是线段上一点，且，若，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】利用基向量表示,结合空间向量基本定理可得.【详解】所以，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，把目标向量向基底向量靠拢是求解的主要思路.8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项积公式___

5、____．【答案】【解析】【分析】利用类比方法和等比数列的性质可求.【详解】，所以，所以.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，下标和相等则项积相等.属于容易题.9.用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为_______．【答案】【解析】【分析】通过式子变化的规律和目标式，可以求解【详解】当时，左边=；当时，左边=；所以左边应添加的项为.【点睛】本题主要考查数学归纳法步骤，添加项的多少取决于起始项和步长及终了项.10.如图，在直三棱柱中，，，点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为_______．【答案】1【解析】【分析】利用

6、基向量表示出,结合异面直线所成角，确定点E的位置，从而可求的长，也可以建立空间坐标系，利用空间向量坐标求解.【详解】设，则，，，，.,因为异面直线与所成角的余弦值为，所以.解得，所以.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，注意向量夹角与异面直线所成角的范围的不同.11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前行的规律，第行的左起第个数为______．【答案】【解析】【分析】观察数表可以发现呈现的规律，从而可得结果.【详解】从数表可以

7、得出，每一行的第一个数的分母就是行数，所以第七行第一个数为；每一个数是它下方相邻两个数的和，所以第七行第二个数为，第三个数为.【点睛】本题主要考查归纳推理，从目标数据提炼呈现的规律是求解这类问题的关键.12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）.已知在鳖臑中，平面，，为的中点，则点到平面的距离为_____．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面法向量，再求点面距.【详解】以B为坐标原点，BA,BC所在直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，如图，则,由为的中点可得;

8、,.设为平面的一个法向量，则,即，令，可得，点到平面的距离为.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用空间向量求解点到平面的距离，一般是先求解平面的法