全等三角形证明专题

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1、智慧在这里绽放，状元从这里起航数学思维方法讲义之一年级：九年级§第1讲证明（三角形专题）【学习目标】1、牢记三角形的有关性质及其判定；2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。【考点透视】1、全等三角形的性质与判定；2、等腰（等边）三角形的性质与判定；3、直角三角形的有关性质，勾股定理及其逆定理；4、相似三角形的性质与判定。【精彩知识】专题一三角形问题中的结论探索【例1】如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。有以下四个结论：①AF⊥BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是.ADBCEO●变

2、式练习1．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　　．★考点感悟：专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索【例2】如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=-90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE'与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论．图（1）图（2）【例3】△ABC中，AB=AC，D为BC的中点

3、，以D为顶点作∠MDN=∠B．（1）如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．（2）如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．（3）在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．★考点感悟：-9-智慧在这里绽放，状元从这里起航●变式练习：如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段

4、BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【】A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③【例4】如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长

5、．★考点感悟：专题三几何动态问题【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．①若a＝，求PQ的长；②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．★考点感悟：●变式练习：已知线段AB=6，C．D是AB上

6、两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为．-9-智慧在这里绽放，状元从这里起航专题四几何与函数结合问题【例6】如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=，PE=.（1）当时，求的值；（2）当CQ=CE时，求与之间的函数关系式；（3）①当CQ=CE时，求与之间的函数关系式；②当CQ=CE（为不小于2的常数）时，求直接与之间的函数关系式。★考点

7、感悟：【例7】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，